Вопрос по матричному представлению алгебры Cl(3,0)

[ChaosProcess]

Как известно, образующие матричного представления алгебры Клиффорда $Cl(3,0)$ есть матрицы Паули плюс единичная.
Меня смущает одна вещь: алгебра Клиффорда определяется фактором тензорной алгебры по двустороннему идеалу $x\otimes x-Q(x)1$, т.е. она является градуированной. В то же время умножение в матричном представлении - обычное матричное умножение, а не тензорное. В итоге, полный базис матричного представления имеет вид матриц 2x2, т.е. казалось бы, градуировка теряется. В чем подвох?

[arseniiv]

Как теряется? Пускай $(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ — канонический базис $Q$ (уже в изоморфной $C\ell_{3,0}(\mathbb C)$ алгебре матриц $G$). Тогда $G = G^0\oplus G^1 \equiv \langle1,\mathbf e_2\mathbf e_3,\mathbf e_1\mathbf e_3,\mathbf e_1\mathbf e_2\rangle\oplus\langle\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3,\mathbf e_1\mathbf e_2\mathbf e_3\rangle$ и $G^iG^j = G^{(i+j)\bmod2}$; $G$ $\mathbb Z_2$-градуирована точно так же, как и обычно. Вероятно, я не понял вопрос.

[ChaosProcess]

arseniiv в сообщении #953821 писал(а):

Как теряется? Пускай $(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ — канонический базис $Q$ (уже в изоморфной $C\ell_{3,0}(\mathbb C)$ алгебре матриц $G$). Тогда $G = G^0\oplus G^1 \equiv \langle1,\mathbf e_2\mathbf e_3,\mathbf e_1\mathbf e_3,\mathbf e_1\mathbf e_2\rangle\oplus\langle\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3,\mathbf e_1\mathbf e_2\mathbf e_3\rangle$ и $G^iG^j = G^{(i+j)\bmod2}$; $G$ $\mathbb Z_2$-градуирована точно так же, как и обычно. Вероятно, я не понял вопрос.

Постараюсь пояснить.
Вы использовали определение алгебры Клиффорда без структуры тензорного произведения, просто рассматривали ее как ассоциативную унитальную алгебру, подчиняющуюся соотношению $e_a e_b+e_b e_a=2\delta_{ab}1.$Если же рассматривать алгебру Клиффорда как фактор по идеалу тензорной алгебры, то в качестве умножения там выступает тензорное произведение. Если рассмотреть алгебру матриц как векторное пространство, то на нем можно определить тензорное произведение, и оно не будет матричным умножением. Вот тут и становится непонятно - т.е. в матричном представлении алгебры используется уже не тензорное произведение в качетсве умножения?
Еще одна неясность: если использовать в качестве умножения - матричное, то градуировка будет $\mathbb Z_2$. Для тензорного произведения должно быть $\mathbb Z_4$:
базисом будет {$1, e_1, e_2, e_3, e_1\otimes e_2,e_1\otimes e_3,e_2\otimes e_3,e_1\otimes e_2\otimes e_3}}$}.

[arseniiv]

ChaosProcess в сообщении #953875 писал(а):

Если же рассматривать алгебру Клиффорда как фактор по идеалу тензорной алгебры, то в качестве умножения там выступает тензорное произведение.

В тензорной алгебре умножением будет тензорное умножение, а в её факторе с чего бы? Элементы фактора — не тензоры, а множества тензоров. Они могут в каком-то случае и сами, наверно, образовывать алгебру, изоморфную тензорной, но не этом.

ChaosProcess в сообщении #953875 писал(а):

Если рассмотреть алгебру матриц как векторное пространство, то на нем можно определить тензорное произведение, и оно не будет матричным умножением. Вот тут и становится непонятно - т.е. в матричном представлении алгебры используется уже не тензорное произведение в качетсве умножения?

Так ведь мы рассматриваем алгебру, уже изоморфную $C\ell_{3,0}(\mathbb C)$ — и не надо никакую тензорную алгебру факторить, уж точно не $T(M(2,\mathbb C))$ или даже только $T(G)$. Вот если выделить в $G$ линейное подпространство (алгеброй по отношению к матричному умножению оно, конечно, уже не будет) $G_1=\langle\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\rangle$, и взять $T(G_1)/\langle v\otimes v-Q(v)\rangle$, где $Q$ нам известна из $G$, то результат будет изоморфен $G$. Но вместо $G_1$ ведь сгодится и любое трёхмерное комплексное линейное пространство (лишь бы на нём квадратичная форма была соответствующей сигнатуры). Только в $T(G_1)$ тензорное произведение надо понимать не как тензорное произведение матриц (надеюсь, кто-нибудь расскажет об этом понятно, а я вряд ли).

ChaosProcess в сообщении #953875 писал(а):

Еще одна неясность: если использовать в качестве умножения - матричное, то градуировка будет $\mathbb Z_2$. Для тензорного произведения должно быть $\mathbb Z_4$:
базисом будет {$1, e_1, e_2, e_3, e_1\otimes e_2,e_1\otimes e_3,e_2\otimes e_3,e_1\otimes e_2\otimes e_3}}$}.

Не понял. Так-то да, это базис алгебры Клиффорда, не спорю, но как отсюда вытекает $\mathbb Z_4$-градуированность? (Не только потому что её всё-таки нет, но и потому что тут не обозначено, какому подпространству соответствуют какие элементы $\mathbb Z_4$).

В общем, рассматриваемая подалгебра матриц $M(2,\mathbb C)$ ведь изоморфна $C\ell_{3,0}(\mathbb C)$, с чего бы ей иметь другую градуировку?

-- Пн дек 29, 2014 19:41:21 --

Про умножения я, наверно, объяснил так себе. Может, после ещё одного вашего ответа лучше получится.

[ChaosProcess]

arseniiv в сообщении #954102 писал(а):

В тензорной алгебре умножением будет тензорное умножение, а в её факторе с чего бы? Элементы фактора — не тензоры, а множества тензоров. Они могут в каком-то случае и сами, наверно, образовывать алгебру, изоморфную тензорной, но не этом.

Ну да. Ну вот например возьмем два разных класса эквивалентности: $a+I$ и $b+I$, где $I$ - идеал. Тогда их произведение определится как: $(a+I)\otimes (b+I)=a\otimes b+a\otimes I+b\otimes I+I\otimes I\sim a\otimes b+I.$
Т.е. тензорное произведение по модулю.

arseniiv в сообщении #954102 писал(а):

Так ведь мы рассматриваем алгебру, уже изоморфную $C\ell_{3,0}(\mathbb C)$ — и не надо никакую тензорную алгебру факторить, уж точно не $T(M(2,\mathbb C))$ или даже только $T(G)$. Вот если выделить в $G$ линейное подпространство (алгеброй по отношению к матричному умножению оно, конечно, уже не будет) $G_1=\langle\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\rangle$, и взять $T(G_1)/\langle v\otimes v-Q(v)\rangle$, где $Q$ нам известна из $G$, то результат будет изоморфен $G$. Но вместо $G_1$ ведь сгодится и любое трёхмерное комплексное линейное пространство (лишь бы на нём квадратичная форма была соответствующей сигнатуры). Только в $T(G_1)$ тензорное произведение надо понимать не как тензорное произведение матриц (надеюсь, кто-нибудь расскажет об этом понятно, а я вряд ли).

Кажется начинаю понимать. Т.е. $M(2,\mathbb C)$ - это не линейное пространство, на котором вводят тензорное произведение из определения, а используется матричное умножение, изоморфное тензорному произведению в абстрактном трехмерном пространтсве. Кстати, а почему вы говорите о подалгебре из $M(2,\mathbb C)$? Там будет вся алгебра задействована.

arseniiv в сообщении #954102 писал(а):

Не понял. Так-то да, это базис алгебры Клиффорда, не спорю, но как отсюда вытекает $\mathbb Z_4$-градуированность? (Не только потому что её всё-таки нет, но и потому что тут не обозначено, какому подпространству соответствуют какие элементы $\mathbb Z_4$).

Насколько я понимаю, градуировка АК такая же, как и у внешней алгебры. Т. е. 0 соотвествует 1 - базис $\mathbb R$, 1 - базис $e_1,e_2,e_3$, 2 - $e_1\otimes e_2, e_1\otimes e_3, e_2\otimes e_3$, 3 - $e_1\otimes e_2\otimes e_3$.

[arseniiv]

ChaosProcess в сообщении #954205 писал(а):

Т.е. тензорное произведение по модулю.

Но уже не «чистое», т. к. $a + I$ всё же не тензоры. Как по мне, умножение в алгебре, не являющейся $T(V)$, называть тензорным не стоит.

ChaosProcess в сообщении #954205 писал(а):

Кстати, а почему вы говорите о подалгебре из $M(2,\mathbb C)$? Там будет вся алгебра задействована.

Да, сам не понимаю, как додумался до такого. (Хорошо хоть алгебра является и своей подалгеброй.)

ChaosProcess в сообщении #954205 писал(а):

используется матричное умножение, изоморфное тензорному произведению в абстрактном трехмерном пространтсве.

Я бы не сказал, что снова понял. Вообще, нет никакого смысла строить алгебру Клиффорда как фактор тензорной алгебры именно $G_1$. Тут же не важно, что элементы $G_1$ — матрицы, которые можно умножать, тензорная алгебра строится как и над любым другим векторным пространством, и в получении $C\ell_{3,0}(\mathbb C)$ из $G_1$ матричное умножение никак не задействовано.

ChaosProcess в сообщении #954205 писал(а):

Насколько я понимаю, градуировка АК такая же, как и у внешней алгебры. Т. е. 0 соотвествует 1 - базис $\mathbb R$, 1 - базис $e_1,e_2,e_3$, 2 - $e_1\otimes e_2, e_1\otimes e_3, e_2\otimes e_3$, 3 - $e_1\otimes e_2\otimes e_3$.

Если бы не было произведения Клиффорда, всё было бы хорошо, но из-за того что, например, $(e_1+e_2)e_2 = e_1e_2 + \text{скаляр}$, ненулевой в общем случае — самое лучшее остаётся $\mathbb Z_2$-градуировка.

[ChaosProcess]

arseniiv в сообщении #954268 писал(а):

Я бы не сказал, что снова понял. Вообще, нет никакого смысла строить алгебру Клиффорда как фактор тензорной алгебры именно $G_1$. Тут же не важно, что элементы $G_1$ — матрицы, которые можно умножать, тензорная алгебра строится как и над любым другим векторным пространством, и в получении $C\ell_{3,0}(\mathbb C)$ из $G_1$ матричное умножение никак не задействовано.

Ну, я не про это. Ну не важно.
А вы не знаете, где про это математически достойно написано, желательно, сразу с применением к спинам в физике? Рашевского мне явно не хватает.

[arseniiv]

Вот тут ничего полезного не могу предложить точно. Надо подождать кого-нибудь…

[Munin]

ChaosProcess в сообщении #953790 писал(а):

В то же время умножение в матричном представлении - обычное матричное умножение, а не тензорное. В итоге, полный базис матричного представления имеет вид матриц 2x2, т.е. казалось бы, градуировка теряется. В чем подвох?

Градуировка - это структура самой алгебры. На представление ей наплевать. Просто вы нарисовали представление, в котором "слои" градуировки не выражены так явно, как хотелось бы. Ну и что? Запишите произведения всего и вся, и вы их снова увидите.