Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1

[Евгений Машеров]

А на 3 оно делится?

[ИСН]

Ну кто, кто Вас просил все карты раскрывать сразу? Эх!

[timber]

nnosipov в сообщении #952024 писал(а):

timber в сообщении #952017 писал(а):

По-моему, нет.

Ответ не изменится, а методы решения будут уже другие.

Метод не изменится. Поменяются только цифры. Это можно доказать.

ИСН в сообщении #952029 писал(а):

Это Вы правильно делаете, что обращаетесь на форум. Но к чему высказывать суждения о возможном способе доказательства и в частности - о том, поменяется ли он от каких-то изменений в условиях, если у Вас пока нет никакого способа?

Ну в общем, доказать возможно таким образом:

1) Если при некотором натуральном числе $n$ числа $(1986^n-1)$ и $(1978^n-1)$ делятся на $(1000^n-1)$, то на $(1000^n-1)$ делятся и разности:

$(1986^n-1)-(1000^n-1)=2^n(993^n-500^n)$;
$(1978^n-1)-(1000^n-1)=2^n(989^n-500^n)$.

2) Поскольку число $1000^n-1$ нечётное, то оно взаимно просто с числом $2^n$ и поэтому на $1000^n-1$ должны делиться разности $993^n-500^n$ и $989^n-500^n$. Однако:
$993^n-500^n<1000^n-1$;
$989^n-500^n<1000^n-1$.

Честно говоря, приводимый вариант доказательства не мой. И поэтому, мне хотелось бы прийти к решению другим способом.

[ИСН]

Хороший вариант, и действительно годится на оба случая. Но я имел в виду другой.

[nnosipov]

timber в сообщении #952042 писал(а):

Метод не изменится.

Тот способ решения, который Вы приводите, --- да, он сохранится. Но все здесь имели в виду другое (и гораздо более простое) рассуждение. Кроме того, для случая со $1978$ есть ещё один способ решения.

[Евгений Машеров]

А посмотрим, быстро ли съестся и эта подсказка...

[VladimirKr]

timber, красиво, коротко, но трудно расширить на нечетные основания.
А если попросить доказать, что $1977^n-1$ или, скажем, $1987^n-1$ не делятся на $1000^n-1$ ?

[Евгений Машеров]

Вообще у меня такое впечатление, что тут некое "горе от ума". Потому как задача для толкового пятиклассника. Которому только-только рассказали про признаки делимости. И даже школьническое валяние дурака на уроке способом выписывания длиииииинных чисел тут пригодится.

[gris]

Кстати, увидев задачу, я был удивлён мистическим совпадением: только позавчера я увидел, как некий пятиклассник упорно делит в столбик $2491$ на $17, 19, 37$ и прочие двузначные простые числа. Предложение воспользоваться калькулятором отвергнуто как нечестное. Оказалось, что он ищет разложение этого числа на простые множители. Робкое упоминание, что кроме тибериума в инете есть и вольфрам, не сработало. Но оказалось, что исходная задача была такая: Принадлежит ли число $3$ к множеству делителей упомянутого числа. Недоуменный вопрос: почему бы не поделить в тот же столбик на $3$ был отвечен встречным с ухмылочкой: может быть ещё и признаком делимости воспользоваться (который ровно в этом параграфе и проходится)? И было продолжено терпеливое деление и скорое нахождение множества делителей.
Не придумал! И начал писать ещё до предыдущего сообщения, с которым тоже многое мистически совпало
Вот так многие не ищут лёгких путей.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #952066 писал(а):

Вообще у меня такое впечатление, что тут некое "горе от ума". Потому как задача для толкового пятиклассника.

Да, но стоит немного "упростить" условие (зачем эти большие четырёхзначные основания, возьмём что-нибудь поменьше), как задача может стать совсем не детской. Например, вряд ли можно просто объяснить, почему $3^n-1$ делится на $2^n-1$ только при $n=1$.

[grizzly]

nnosipov в сообщении #952081 писал(а):

задача может стать совсем не детской.

Ну, не совсем, а так, наполовину :)

[nnosipov]

grizzly в сообщении #952103 писал(а):

Ну, не совсем, а так, наполовину :)

Ну вот даны какие-то натуральные $a$ и $b$. Как найти натуральные $n$, для которых $a^n-1$ делится на $b^n-1$? Не вижу ничего детского в такой постановке вопроса. По-моему, он труден.

[timber]

nnosipov в сообщении #952048 писал(а):

все здесь имели в виду другое (и гораздо более простое) рассуждение

Какое, если не секрет?

[ИСН]

ИСН в сообщении #951791 писал(а):

начинать следует, как всегда в таких случаях, с рассмотрения по малым модулям.

-- менее минуты назад --

Туманно как-то вышло; вон с двойкой попробовали и всё ОК. Ну ладно, а Вы всё же попробуйте ещё с каким-нибудь малым...

[gris]

А может быть именно так и отрастают ИСН-овские лыжи?