Помогите разобраться с группой Q_8 x Z_3.

[DeadMath]

Ребят, такой вопрос. У нас есть группа $Q_8$ x $Z_3$. Для нее нужно найти силовские подгруппы, каноническое разложение $G/G'$ и число гомоморфизмов $G$ $\mapsto$ $Z_{10}$ и обратно.
Вот какие соображения имею на данное время:
1) В нашей группе имеются силовские 2- и 3-подгруппы. Силовских 2-подгрупп будет 1, так как, если будет 3, то тогда они покрывают уже порядок группы, и на силовские 3-подгруппы просто нет места Ну и я так понимаю, что это и будет группа $Q_8$, так как ее порядок = 8. А вот что делать с силовскими 3-подгруппами? Их может быть как 1, так 4? Я догадываюсь, что должна быть одна, тогда это и будет Z_3$, или я ошибаюсь? Тогда как они будут выглядеть в противном случае (если их 4)?
2) По каноническому разложению. Думаю, что исходная группа будет изоморфна $Z_2$ x $Z_2$ x $Z_3$, но обосновать, почему $Z_2$ x $Z_2$ будет изоморфна $Q_8$, не знаю как правильно. Это второй вопрос.
3) Число гомоморфизмов из $Q_8$ x $Z_3$ $\mapsto$ $Z_{10}$, как я считаю, будет 2, т.к. из $Z_3$ $\mapsto$ $Z_{10}$ - только тривиальный, а вот из $Q_8$ $\mapsto$ $Z_{10}$ - то же самое, что из $Q_8$ $\mapsto$ $Z_2$, и их 2 (тривиальный, и знаковый(т.е. плюсы перейдут в 1, а минусы - в -1). А из $Z_{10}$ $\mapsto$ $Q_8$ x $Z_3$ будет 4 гомоморфизма, т.к. $Z_{10}$ $\mapsto$ $Q_8$ - то же самое, что $Z_2$ $\mapsto$ $Q_8$, а тут могут перейти как в -1, так и в 1. Верны ли мои рассуждения?
Помогите разобраться, добрые люди:) А то уже не знаю, что делать даже.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»