Разложение кольца многочленов в сумму. Поиск корней по модул

[pooh__]

Есть $f \in \mathbb{Z}_{30}[x]$ хочу найти все его корни, для чего интуитивно пишу
$\mathbb{Z}_{30}[x] \cong \mathbb{Z}_{2}[x] \oplus \mathbb{Z}_{3}[x] \oplus \mathbb{Z}_{5}[x]$.
Нахожу корни в этих компонентах и в итоге получаю правильный ответ.

Но как это обосновать? Ну допустим я могу написать $R/I[x] \cong R[x]/IR[x]$ и дальше там на прямые слагаемые раскладывать(и ито я не очень понял), ну а корни почему должны быть?

[nnosipov]

pooh__ в сообщении #951114 писал(а):

ну а корни почему должны быть?

Да не должны быть корни у произвольного многочлена $f(x)$ в $\mathbb{Z}_m$. Но искать их разумно именно так. То есть найдя его корни в $\mathbb{Z}_{m_i}$ (где $m_i$ --- попарно взаимно простые сомножители, в произведении дающие $m$), а затем "склеив" их (см. китайскую теорему об остатках).

[pooh__]

nnosipov в сообщении #951160 писал(а):

pooh__ в сообщении #951114 писал(а):

ну а корни почему должны быть?

Да не должны быть корни у произвольного многочлена $f(x)$ в $\mathbb{Z}_m$. Но искать их разумно именно так. То есть найдя его корни в $\mathbb{Z}_{m_i}$ (где $m_i$ --- попарно взаимно простые сомножители, в произведении дающие $m$), а затем "склеив" их (см. китайскую теорему об остатках).

Я имел ввиду почему если $x_{i}$ корни многочленов в $\mathbb{Z_{n_{i}}}[x]$, то отвечающий им по КТО $x$ - корень?

[Cash]

если число делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение.

[pooh__]

А почему других нет корней?
(прошу прощения за глупый вопрос, своя голова что-то сегодня совсем не варит)

[nnosipov]

Отложите этот вопрос на завтра. Здесь в самом деле нечего обсуждать. Разве что саму КТО.