Доказать, что преобразование пространства r3 является лине

[zanac]

Доказать, что преобразование $\phi$ пространства $R^3$ является линейным. Найти матрицу этого преобразования в единичном базисе. Найти ранг и дефект этого преобразования.
$\phi(x_1, x_2, x_3)=(x_1+x_2, 4x_1+2x_3, x_2)$

Я думаю, что $\phi$ - это вектор или линейная комбинация векторов. Подскажите с чего начать?
И как называется $\phi$?

[ИСН]

$\phi$ называется "преобразование". Оно не может быть ни вектором, ни комбинацией векторов, так же как один человек не может быть армией. Что оно линейно, это очевидно. Так что можете начинать с матрицы.

[zanac]

Определение линейного преобразования :
Преобразование (оператор, отображение) f линейного пространства в себя (запись $f: V \mapsto V$) называется линейным, если:
1) $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$
2) $f(\lambda x)=\lambda f(x)$
Условия 1 и 2 равносильны соотношению:
$f(\alpha x_1 + \beta x_2) = f(\alpha x_1) + f(\beta x_2)$

Начал решать так :
Чтоб доказать линейность преобразования достаточно доказать $(ax_1+ax_2, 4ax_1+2ax_3, ax_2)=a(x_1+x_2, 4x_1+2x_3, x_3)$, правильно?
В учебнике http://pskgu.ru/ebooks/gusak/gusak_gl10.pdf внизу первой страницы : "Пусть f - линейное преобразование n-мерного линейного пространства, переводящее базисные векторы $e_1,e_2,e_3$ в векторы..."
В качестве векторов $e_1, e_2, e_3$ я взял $x_1 ,x_2, x_3$, а в качестве $e_1', e_2', e_3'$ -
$x_1+x_2, 4x_1 + 2x_3, x_3$ соответственно.
Правильно?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения и/или укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Slow]

zanac в сообщении #950590 писал(а):

Доказать, что преобразование $\phi$ пространства $R^3$ является линейным. Найти матрицу этого преобразования в единичном базисе. Найти ранг и дефект этого преобразования.
$\phi(x_1, x_2, x_3)=(x_1+x_2, 4x_1+2x_3, x_2)$

Я думаю, что $\phi$ - это вектор или линейная комбинация векторов. Подскажите с чего начать?
И как называется $\phi$?

Линейная комбинация векторов это тоже вектор, а начать нужно с понимания что такое $x_1,x_2,x_3$

[zanac]

Slow
аргументы функции?

[Otta]

Мда. И что Вы от нас ждете?
Ну давайте так. Пусть $A(x_1, x_2, x_3)= (-3x_3,x_1,x_2)$. Линейно? нет? почему?

[Sinoid]

Быть может, вас натолкнет вот это: $\phi(x_1,x_2,x_3)=(x'_1,x'_2,x'_3)$?

[zanac]

Sinoid
$x_1=x_1'$ и т.д. для каждого x, так?
Otta
если применить определение линейного преобразования :
1)$A(x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1) = A(x_1, x_2, x_3) + A(x_2, x_3, x_1)$
2)$A(\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3) = \lambda A(x_1, x_2, x_3)$
Следовательно - линейнозависимо

[arseniiv]

zanac в сообщении #951400 писал(а):

1)$A(x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1) = A(x_1, x_2, x_3) + A(x_2, x_3, x_1)$

А зачем вы сумму векторов $(x_1,x_2,x_3)$ и $(x_2,x_3,x_1)$ берёте? Чтобы показаь линейность, нужно показать $A(\vec u+\vec v) = A\vec u+A\vec v$ для всех пар $(\vec u,\vec v)$, а у вас получатся не все.

zanac в сообщении #951400 писал(а):

Следовательно - линейнозависимо

Что линейно зависимо?

[Slow]

Slow в сообщении #951084 писал(а):

zanac в сообщении #950590 писал(а):

Доказать, что преобразование $\phi$ пространства $R^3$ является линейным. Найти матрицу этого преобразования в единичном базисе. Найти ранг и дефект этого преобразования.
$\phi(x_1, x_2, x_3)=(x_1+x_2, 4x_1+2x_3, x_2)$

Я думаю, что $\phi$ - это вектор или линейная комбинация векторов. Подскажите с чего начать?
И как называется $\phi$?

Линейная комбинация векторов это тоже вектор, а начать нужно с понимания что такое $x_1,x_2,x_3$

Вектор или скаляр?

[zanac]

arseniiv в сообщении #951418 писал(а):

zanac в сообщении #951400 писал(а):

1)$A(x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1) = A(x_1, x_2, x_3) + A(x_2, x_3, x_1)$

А зачем вы сумму векторов $(x_1,x_2,x_3)$ и $(x_2,x_3,x_1)$ берёте? Чтобы показаь линейность, нужно показать $A(\vec u+\vec v) = A\vec u+A\vec v$ для всех пар $(\vec u,\vec v)$, а у вас получатся не все.

Вы хотите сказать, что мне нужно работать с матрицей А и не обращать внимание на вектор $(x_1, x_2, x_3)$?

zanac в сообщении #951400 писал(а):

Следовательно - линейнозависимо

Прошу прощения за опечатку, конечно линейноНЕзависима.

-- 24.12.2014, 07:16 --

Slow
судя по форме записи - вектор.

[bot]

zanac в сообщении #951400 писал(а):

Следовательно - линейнозависимо

arseniiv в сообщении #951418 писал(а):

Что линейно зависимо?

zanac в сообщении #951459 писал(а):

Прошу прощения за опечатку, конечно линейноНЕзависима.

- волны падали стремительным домкратом ...
- каким домкратом?
- прошу прощения за опечатку, конечно, центростремительным.

[Sinoid]

zanac в сообщении #951400 писал(а):

$x_1=x_1'$ и т.д. для каждого x, так?

Координаты без штрихов-это координаты (скажем, точки) до преобразования, со штрихами-после.