эвольвента, размерность расстояния от начала координат

[upgrade]

уравнение эвольвенты окружности в параметрическом виде, где $\alpha$ - угол, $r_o$ - радиус окружности
$x = r_o (\cos\alpha+\alpha\sin\alpha)$
$y = r_o (\sin\alpha-\alpha\cos\alpha)$
ищем расстояние $R$ от начала координат до эвольвенты.
$R^2=x^2+y^2$
$R^2=(r_o (\cos\alpha+\alpha\sin\alpha))^2+(r_o (\sin\alpha-\alpha\cos\alpha))^2$
$R^2=r_o^2\left( \left(\cos\alpha+\alpha\sin\alpha\right)^2+\left(\sin\alpha-\alpha\cos\alpha\right)^2\right)$
$R^2=r_o^2\left( \cos^2\alpha+2\alpha\sin \alpha \cos \alpha+\alpha^2\sin^2\alpha \quad+\quad\sin^2\alpha-2\alpha\cos \alpha \sin \alpha +\alpha^2\cos^2 \alpha \right)$
$R^2=r_o^2\left( \cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\alpha^2\sin^2\alpha +\alpha^2\cos^2 \alpha \right)$
$R^2=r_o^2\left( 1+\alpha^2(\sin^2\alpha +\cos^2 \alpha) \right)$
$R^2=r_o^2\left( 1+\alpha^2 \right)$

отсюда

$\alpha=\sqrt{\frac{R^2}{r_o^2}-1}$
$R=r_o\sqrt{1+\alpha^2}$ - здесь размерность метры умножить на градусы, или подкоренное выражение (прибавление единицы к квадрату угла) - это просто коэффициент для $r_0$?
или вывод формулы неверен?

[Алексей К.]

upgrade в сообщении #947100 писал(а):

или вывод формулы неверен?

Вывод формул не поверял, но угол --- величина безразмерная. Ему приписывают слово "радиан" чисто для того, чтобы подчеркнуть, что речь об угле (а не о банковских, например, штучках). Но это отношение длины дуги к радиусу дуги. Это совсем безразмерная величина.

В высоких сферах (УФ[М]Н) беседы о размерности-безразмерности угла велись, но это пока не моего ума дело.
Вам тоже предлагаю не заморачиваться. Дорастём --- почитаем.
А пока --- безразмерно оно.

-- 15 дек 2014, 23:04:40 --

upgrade в сообщении #947100 писал(а):

размерность метры умножить на градусы,

О главном забыл сказать: градусов в математике нет!
Градусы --- дань старине, истории, они для детей, домохозяек, журналистов и депутатов.
Они не для инженеров, программистов и математиков!

Угол --- это отношение длины дуги, стягивающей угол (и, возможно, перетягивающей, и взад, и вперёд, и несколько раз), к радиусу этой дуги.

-- 15 дек 2014, 23:10:12 --

А формулы у меня на чердаке (юношеские, тоже, видимо, хотелось другого полярного уравнения) --- да, такие же.

[upgrade]

Алексей К. в сообщении #947124 писал(а):

Угол --- это отношение длины дуги, стягивающей угол (и, возможно, перетягивающей, и взад, и вперёд, и несколько раз), к радиусу этой дуги.

это да, но просто как-то боязно чтоли, параметрическое представление в градусах дано, в радианах другой вид угла будет, и квадрат мне этот не нравится - одно дело к единице прибавить $2^2$ другое $0,034^2$ хотя это один и тот же угол в квадрат возводится.

(Оффтоп)

$\alpha$ - это не угол направлением на эвольвенту на котором отложен $R$, а угол поворота радиуса окружности.

[Red_Herring]

Посмотрите, как строится эвольвента через нитку, намотанную вокруг окружности. Нужно, чтобы расстояние от $A$ до $B$ по дуге и от $B$ до $M$ оставалось постоянным. И если Вы хотите, чтобы длина дуги была $\alpha r_O$, то мерить угол надо в радианах. А если в градусах—коэффициент вводить надо.

$\begin{tikzpicture} \draw (0,0) circle (2); \draw[very thick, blue] (1, 1.73205080756888) -- (2.73205080756888, 0.73205080756888); \draw [very thick, blue] (0,-2) arc (270:60:2); \draw[->] (0,0)--(0,2.3); \draw[dashed] (0,0)--(1, 1.73205080756888); \draw[<->] (0,.8) arc (90:60:.8); \node at (.3,.9) {$\alpha$}; \node at (.2,2.2) {$A$}; \node at (1.05, 1.90205080756888) {$B$}; \node[below] at (2.73205080756888, 0.73205080756888) {$M$}; \end{tikzpicture}$

-- 16.12.2014, 06:31 --

upgrade в сообщении #947515 писал(а):

Градусы --- дань старине, истории, они для детей, домохозяек, журналистов и депутатов.
Они не для инженеров, программистов и математиков!

Кстати, градусы также для алкоголиков, метеорологов и тех, кто рисует, как я с помощью tikz:

Используется синтаксис LaTeX

\draw[<->] (0,.8) arc (90:60:.8);

[upgrade]

Red_Herring в сообщении #947634 писал(а):

Нужно, чтобы расстояние от $A$ до $B$ по дуге и от $B$ до $M$ оставалось постоянным.

я себе немного по-другому представлял:

$\begin{tikzpicture} \draw (0,0) circle (2); \draw[very thick, blue] (1, 1.73205080756888) -- (2.73205080756888, 0.73205080756888); \draw [very thick, red] (0,-2) arc (270:5:2); \draw [very thick, blue] (0,-2) arc (270:60:2); \draw[->] (0,0)--(2,0.2); \draw[dashed] (0,0)--(1, 1.73205080756888); \draw[<->] (.5,.8) arc (90:4:0.7); \node at (.9,.9) {$\alpha$}; \node at (1.05, 1.90205080756888) {$B$}; \node[below] at (2.73205080756888, 0.73205080756888) {$M$}; \node[below] at (1.7, 0.7) {$A$}; \end{tikzpicture}$

$AB=BM$

[Red_Herring]

Ну это то же самое (с точностью до того откуда отсчитывать угол и в каком направлении). Важно чтобы длина дуги была $r_O\alpha$, и тогда $\alpha$ д.б. в радианах

[upgrade]

длина дуги может выражена так:
$AB=BM=\sqrt{R^2-r_O^2}$

и так:
$AB=r_O\arcsin\frac{x}{r_O}$
здесь $\arcsin$ радианы возвращает.

и если сделать так:
$AB=r_O\arcsin\frac{x}{r_O}=\sqrt{R^2-r_O^2}$
то
$\arcsin\frac{x}{r_O}=\sqrt{\frac{R^2}{r_O^2}-1}$
сравниваю с тем что получил от параметрического уравнения:
$\alpha=\sqrt{\frac{R^2}{r_o^2}-1}$

и не очень понимаю $\frac{x}{r_O}$ - это $\sin\alpha$, где $\alpha$ в радианах или в градусах?
если в радианах, почему нигде не появилось какое-нибудь $\pi$ ведь в параметрическом уравнении не радианы или в параметрическом уравнении всеже радианы, или вообще все равно что в параметрическом уравнении...

[Алексей К.]

upgrade,
выход у нас, как мне кажется, один. В своём начальном посте Вы привели уравнение эвольвенты.
Вы его не вывели сами, Вы его откуда-то взяли:

upgrade в сообщении #947100 писал(а):

уравнение эвольвенты окружности в параметрическом виде, где $\alpha$ - угол, $r_o$ - радиус окружности
$x = r_o (\cos\alpha+\alpha\sin\alpha)$
$y = r_o (\sin\alpha-\alpha\cos\alpha)$

Так вот, выключите ЭВМ, возьмите бумагу в клеточку, нарисуйте приличную окружность (циркуль не помешает), и попытайтесь понять, откуда взялись эти формулы. Просто не доверяйте им поначалу. Проверьте их численно. Выведите свои формулы.
Как-то так надо поступать.

Но поступать надо исходя из некоторого определения эвольвенты, исходя из некоторого понимания, что это такое.
А если определение сидит только в процитированных формулах --- то нет, ничего у нас не получится.

-- 17 дек 2014, 01:25:24 --

upgrade в сообщении #947100 писал(а):

уравнение эвольвенты окружности в параметрическом виде, где $\alpha$ - угол, $r_o$ - радиус окружности
$x = r_o (\cos\alpha+\alpha\sin\alpha)$
$y = r_o (\sin\alpha-\alpha\cos\alpha)$
...................(сокращено)...................
отсюда
..............................................
$R=r_o\sqrt{1+\alpha^2}$ - здесь размерность метры умножить на градусы,

"Проблема размерности" у Вас возникла после многих пробразований. Но ведь она В ТОМ ЖЕ ВИДЕ сидела в изначальной формуле!

$$x = r (\cos\alpha+\alpha\sin\alpha)\quad\Longrightarrow\quad x=r\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot 30^\circ\right).$$

С этой неприятности и начинайте, зачем вглубь сразу лезть.

[Red_Herring]

Когда Вы считаете $\sin$ или $\cos$, то безразлично—лишь бы Ваш компьютер знал, в чём Вы считаете. Но ведь у Вас сидит ещё голый множитель $\alpha$, и там уже архи-важно.

Red_Herring в сообщении #947667 писал(а):

Важно чтобы длина дуги была $r_O\alpha$, и тогда $\alpha$ д.б. в радианах

[upgrade]

Алексей К. в сообщении #948046 писал(а):

нарисуйте приличную окружность (циркуль не помешает), и попытайтесь понять, откуда взялись эти формулы.

нарисовал, получились радианы. спасибо.

[upgrade]

$\begin{tikzpicture} \draw (0,0) circle (2); \draw[very thick, blue] (1, 1.73205080756888) -- (0.2, 2.2); \draw[very thick, blue] (0.2,2.2) -- (0, 0); \draw[very thick, blue] (1, 1.73205080756888) -- (0, 0); \draw[--] (0,0)--(0,2.3); \draw[--] (0,0)--(2.3,0); \draw[<->] (0,.8) arc (90:60:.8); \draw[<->] (0.15,1.3) arc (90:60:1); \node at (.35,1.45) {$\theta$}; \node at (.3,.9) {$\alpha$}; \node at (-.2,2.2) {$A$}; \node at (-.2,-.2) {$O$}; \node at (1,1) {$r_O$}; \node at (1.05, 1.90205080756888) {$B$}; \node[below] at (0.5, 2.5) {$M$}; \end{tikzpicture}$

$AB=MB=r_O\cdot\alpha$, $AB$ - длина дуги, $\alpha$ - угол, радианы.
$\frac{MB}{OB}=\frac{r_O\cdot\alpha}{r_O}=\alpha$
$\frac{MB}{OB}=\tg{\theta}$
откуда
$\alpha=\tg{\theta}$
тангенс возвращает радианы - это нормально?, т.е. находя тангенс угла, выраженного в радианах, снова получаем радианы...? (на ЭВМ все в порядке, из тангенса спокойно получаются радианы)

Red_Herring в сообщении #948074 писал(а):

Но ведь у Вас сидит ещё голый множитель $\alpha$, и там уже архи-важно.

а как узнать? при различных преобразованиях сторон прямоугольного треугольника, да и других, постоянно появляется тригонометрия - там все в радианах или надо специально высматривать - нет ли случайно не радиан, ведь если множители из под синусов или косинусов выходят, то это сразу начинает существенно менять значения итоговые, да и графики тоже.

[Red_Herring]

Ну там же длина дуги вычисляется по формуле $\alpha r$ (сколько раз можно повторять!) Чему равна длина окружности радиуса $r$? $2\pi r$ или $360 r$?!

[amon]

Почитайте что-нибудь про размерность. Например, Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. Тангенс возвращает безразмерную величину, радиан тоже безразмерен, как и градус, но при этом, если $\alpha$ - радианы, а $\gamma$ - градусы, то один и тот же угол будет $\gamma=\frac{180\alpha}{\pi}$. Последняя формула связывает выражения в градусах с выражением в радианах.

[Алексей К.]

upgrade,

Вам тут периодически намекают про такую модель эвольвенты: на окружность намотали нить (удобно считать, что конец нити находится в точке $(R,0)$, где $R$ --- радиус окружности). Нить схватили за конец и разматывают. Эвольвента --- траектория этого конца.
По-моему, до сих пор неясно, принимаете ли Вы эту модель, понятна ли она Вам (извините, если не вчитался и пропустил, что да, понятна).

Считаем, что центр декартовой системы координат находится в центре окружности.
Там же сидит полюс полярной системы координат.
Тогда угол $\alpha$, параметр параметрического уравнения эвольвенты из Вашего первого поста, есть, по сути, полярный угол той точки на окружности, в которой нить ещё касается окружности (это никак не есть полярный угол соотв. точки на эвольвенте, но это не важно)

Согласно Вашему первому сообщению,

upgrade в сообщении #947100 писал(а):

равнение эвольвенты окружности в параметрическом виде, где $\alpha$ - угол, $r_o$ - радиус окружности
$x = R (\cos\alpha+\alpha\sin\alpha)$
$y = R (\sin\alpha-\alpha\cos\alpha)$

(извините, я малость исказил, --- упростил обозначения: ну зачем нам лишние индексы типа $r_o$) при $\alpha=0$ имеет точку на эвольвенте_и_на_окружности $(R,0)$.
Согласно же Вашей последней картинке при $\alpha=0$ получим точку $(0,R)$.

Поменьше путаницы!
Такое дополнительное запутывание мозгов не способствует...

-- 18 дек 2014, 01:23:41 --

Вот Вы на своей последней картинке

upgrade в сообщении #948429 писал(а):

$\begin{tikzpicture} \draw (0,0) circle (2); \draw[very thick, blue] (1, 1.73205080756888) -- (0.2, 2.2); \draw[very thick, blue] (0.2,2.2) -- (0, 0); \draw[very thick, blue] (1, 1.73205080756888) -- (0, 0); \draw[--] (0,0)--(0,2.3); \draw[--] (0,0)--(2.3,0); \draw[<->] (0,.8) arc (90:60:.8); \draw[<->] (0.15,1.3) arc (90:60:1); \node at (.35,1.45) {$\theta$}; \node at (.3,.9) {$\alpha$}; \node at (-.2,2.2) {$A$}; \node at (-.2,-.2) {$O$}; \node at (1,1) {$r_O$}; \node at (1.05, 1.90205080756888) {$B$}; \node[below] at (0.5, 2.5) {$M$}; \end{tikzpicture}$

углы изобразили, и с бесконечной старательностью к ним дужки приписали, и у каждой дужки стрелочки в обе стороны, как на чертеже у отрезка (когда же я так научусь, tikzpicture ?!).
А это тоже неправильно!
Углы здесь ориентированные, со знаком, и стрелочка должна быть в одну сторону: положительный угол --- против часовой стрелки, и именно это должна стрелочка отображать (а иначе она декоративно-бессмысленна).

Вот правильная картинка, в смысле соответствия Вашим изначальным уравнениям.

[Red_Herring]

Алексей К. в сообщении #948595 писал(а):

именно это должна стрелочка отображать (а иначе она декоративно-бессмысленна).

Черчения Вам учить не пришлось—да и вообще размеры так обозначаются со стрелочками на концах. Это не бессмысленно: лучше видно откуда и докуда

Цитата:

когда же я так научусь, tikzpicture

Этот чертеж простенький. Если Вас интересуют геометрические чертежи, то к обычному tikz добавьте надстройку tkz–euclide