Доказать по определению равномерную сходимость

[Nurzery[Rhymes]]

Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке $[0; 1]$. При каких $n$ абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит $0.1 \forall x \in [0; 1]$?
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^n}{4n-7}$

Должно быть, определение надо использовать это: функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ называется равномерно сходящимся на отрезке $[a; b]$, если для любого как угодно малого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $N$, что при всех $n \geqslant N$ будет выполняться неравенство: $|S(x) - S_n (x)| < \varepsilon$.

Нашел такой план выполнения этого задания:

1) Т.к $x \in [0;1]$, то имеем знакочередующийся ряд. Почему предложение построено в виде "если... то..."? Для других $x$ этот ряд может оказаться не знакочередующимся? Для каких, например?

Для знакочередующегося ряда остаток $R_n = S(x) - S_n (x)$ меньше по модулю первого отброшенного члена, поэтому $|R_n (x)| < a_{n+1} x^{n+1}$. Почему здесь индексы $n+1$, а не $n$?

Для моей задачи получаем: $|R_n (x)| < \frac{x^n}{4n-3} \leqslant \frac{1}{4n-3} < 0.1$

2) На отрезке $[0;1]$ имеем: $a_{n+1}x^{n+1} \leqslant a_{n+1} < 0.1$

3) Решая неравенство $a_{n+1} < 0.1 $, находим такой номер $N$, что при всех $n \geqslant N$ будет выполняться $|R_n (x)| < \varepsilon$.

Как выполнить последние два пункта? Коэффициент $a_{n+1}$ исходного степенного ряда равен $\frac{1}{4n-3}$. Что делать дальше? Решать неравенство $\frac{1}{4n-3} < 0.1$?

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941341 писал(а):

1) Т.к $x \in [0;1]$, то имеем знакочередующийся ряд. Почему предложение построено в виде "если... то..."? Для других $x$ этот ряд может оказаться не знакочередующимся? Для каких, например?

Для отрицательных, например.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941341 писал(а):

Для знакочередующегося ряда остаток $R_n = S(x) - S_n (x)$ меньше по модулю первого отброшенного члена, поэтому $|R_n (x)| < a_{n+1} x^{n+1}$. Почему здесь индексы $n+1$, а не $n$?

Напишите аккуратно требуемое и увидите сами.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941341 писал(а):

Для моей задачи получаем: $|R_n (x)| < \frac{x^n}{4n-3} \leqslant \frac{1}{4n-3} < 0.1$

Числитель только поправьте, степень другая.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941341 писал(а):

Что делать дальше? Решать неравенство $\frac{1}{4n-3} < 0.1$?

Да, если $\varepsilon= 0{,}1$. По определению Вам нужно найти, начиная с какого номера $n$ это неравенство будет выполняться.

Определение, кстати, Вы пишете неверно, потому что ни словом ни обмолвились в нем об $x$.

[Nurzery[Rhymes]]

Тогда получается так: $\frac{1}{4n-3}<0.1 \Rightarrow 4n-3>10 \Rightarrow n>4$. Получили $n$, начиная с которого остаток ряда меньше $0.1$. А что такое остаточный член? По ходу решения задачи приходилось иметь дело только с остатком ряда.

И где в этом плане доказывается равномерная сходимость по определению? Мы сказали, что остаток ряда меньше по модулю первого отброшенного члена. Этого достаточно? Как доказать, что остаток ряда будет меньше и любого сколь угодно малого $\varepsilon >0$?

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941746 писал(а):

А что такое остаточный член? По ходу решения задачи приходилось иметь дело только с остатком ряда.

Это он и есть.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941746 писал(а):

И где в этом плане доказывается равномерная сходимость по определению?[...] Как доказать, что остаток ряда будет меньше и любого сколь угодно малого $\varepsilon >0$?

Пока нигде. Доказывайте теперь не для конкретного эпсилон, а для произвольного. Точно так же. Только определение поправьте.

Otta в сообщении #941454 писал(а):

Определение, кстати, Вы пишете неверно, потому что ни словом ни обмолвились в нем об $x$.

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #941748 писал(а):

Пока нигде. Доказывайте теперь не для конкретного эпсилон, а для произвольного. Точно так же. Только определение поправьте.

Об $x$ надо сказать то, что он принадлежит интервалу сходимости, то есть, в моем случае, $[0;1]$? Я по книжке Воробьева "Теория рядов" занимаюсь, почему-то в первый раз не заметил там условия для $x$.

А как доказать для произвольного $\varepsilon$? Мне неизвестна сумма ряда и $n$-ная частичная сумма, поэтому так прямо оценить не получится. Да и надо как-то показать, что остаток ряда будет меньше $\varepsilon$, даже когда $\varepsilon$ стремится к нулю...

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941765 писал(а):

даже когда $\varepsilon$ стремится к нулю...

Где вы видели такое условие? $\varepsilon$ - произвольное число. Хотя, конечно, имеет смысл рассматривать его как "малое", потому что именно для таких $\varepsilon$ условие выполняется "с бОльшим трудом".

[Otta]

Эпсилон никуда не стремится. Это число. Непонятно, как для произвольного? Берите все по очереди. Одна десятая уже была, возьмите одну миллионную. Еще какую-нибудь. А потом посмотрите, что общего сохраняется в решении и как все это делать в общем случае.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941765 писал(а):

Об $x$ надо сказать то, что он принадлежит интервалу сходимости, то есть, в моем случае, $[0;1]$?

В нужном месте сказать, мало того. Прочитайте определение внимательно.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941765 писал(а):

Мне неизвестна сумма ряда и $n$-ная частичная сумма, поэтому так прямо оценить не получится.

Вам известно все то же, что и до сих пор. До сих пор получалось, а что испортится сейчас? недоумеваю.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #941766 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941765 писал(а):

даже когда $\varepsilon$ стремится к нулю...

Где вы видели такое условие? $\varepsilon$ - произвольное число. Хотя, конечно, имеет смысл рассматривать его как "малое", потому что именно для таких $\varepsilon$ условие выполняется "с бОльшим трудом".

Мне кажется, это необходимое условие сходимости, чтобы $\varepsilon$ был бесконечно малым, а остаток ряда еще меньше. Потому что можно взять огромный $\varepsilon$, и для медленно возрастающего ряда $n$-й остаток будет меньше $\varepsilon$, хотя ряд будет расходиться.

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941770 писал(а):

Мне кажется, это необходимое условие сходимости, чтобы $\varepsilon$ был бесконечно малым, а остаток ряда еще меньше.

Не фантазируйте, читайте дословно. Написано для любого эпсилон выполнено.... значит, для любого.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941770 писал(а):

Потому что можно взять огромный $\varepsilon$, и для медленно возрастающего ряда $n$-й остаток будет меньше $\varepsilon$, хотя ряд будет расходиться.

Можно. Но должно быть выполнено не только для огромного, но и для любого другого. В том числе для очень маленького.

[Nurzery[Rhymes]]

Не придумал ничего лучше, кроме как рассмотреть такое неравенство, по аналогии с предыдущим:

$$\frac{1}{4n-3}<\varepsilon \Rightarrow \frac{1}{4n-3}<\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} \Rightarrow 4n-3 > \frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow 4n > \frac{1 + 3\varepsilon}{\varepsilon} \Rightarrow n > \frac{1+3\varepsilon}{4\varepsilon}

Здесь мы получили номер $n$, для которого, начиная со следующего за ним, остаток ряда будет меньше $\varepsilon$? Это и есть доказательство?

[Otta]

Да. Только не совсем. Мы получили все номера, для которых остаток ряда будет меньше эпсилон. А надо (формальное определение этого требует) номер $N$, начиная с которого это будет так. Посмотрите чему $N$ будет равно при $\varepsilon= 0{,}1$. Потом посмотрите - чему при произвольном $\varepsilon$.

(Оффтоп)

И выучите определение. Мне-то ладно, а Вам пригодится.

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #941790 писал(а):

Да. Только не совсем. Мы получили все номера, для которых остаток ряда будет меньше эпсилон. А надо (формальное определение этого требует) номер $N$, начиная с которого это будет так. Посмотрите чему $N$ будет равно при $\varepsilon= 0{,}1$. Потом посмотрите - чему при произвольном $\varepsilon$.

(Оффтоп)

И выучите определение. Мне-то ладно, а Вам пригодится.

Не совсем понял, что надо сделать. Мы нашли $n$, начиная с которого остаток ряда меньше эпсилон, а надо найти выражение $n$, который следует за ним?

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941746 писал(а):

Тогда получается так: $\frac{1}{4n-3}<0.1 \Rightarrow 4n-3>10 \Rightarrow n>4$.

Внимательно себя читайте. Буквально то, что написано. При этих $n$ что выполнено?

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #941808 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941746 писал(а):

Тогда получается так: $\frac{1}{4n-3}<0.1 \Rightarrow 4n-3>10 \Rightarrow n>4$.

Внимательно себя читайте. Буквально то, что написано. При этих $n$ что выполнено?

При этих $n$ остаток ряда и $n$-й член будет меньше 0.1

[Otta]

Правильно. То есть это верно при всех $n$, начиная с пяти. Итого: для $\varepsilon=0{,}1$ существует $N$ (мы его нашли и оно равно пяти), такое что.... а дальше правильно Вы не знаете как продолжить. (Занудствую, да. Но уже прошел целый день, а Вы так и не знаете.)

Итак, осталось проделать то же для произвольного эпсилон.