Доказать по определению равномерную сходимость

[Nurzery[Rhymes]]

Вот определение равномерной сходимости из моего конспекта:
Говорят, что функциональная последовательность сходится равномерно к функции $f(x)$ на множестве $E$, если $\forall \varepsilon > 0 \exists N=N(\varepsilon) \forall n > N:$
$|f_n (x) - f(x)| < \varepsilon , \forall x \in E$

Я нашел выражение $n$, начиная с которого остаток ряда меньше заданного числа. Нужно найти выражение следующего за ним числа через эпсилон?

Мы почему-то не рассмотрели ни один пример на равномерную сходимость по определению. Первый пример - определение сходимости через супремум.

-- 07.12.2014, 18:44 --

Otta в сообщении #941868 писал(а):

Правильно. То есть это верно при всех $n$, начиная с пяти. Итого: для $\varepsilon=0{,}1$ существует $N$ (мы его нашли и оно равно пяти), такое что.... а дальше правильно Вы не знаете как продолжить. [/size]

Начиная с которого модуль разности $n$-й частичной суммы и суммы ряда меньше эпсилон. Но если использовать определение дословно, то я не знаю ни формулу для $n$-й суммы ряда, ни сумму ряда, поэтому задача по такому определению невыполнима: недостаточно данных, которые в определении используются.

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941878 писал(а):

Я нашел выражение $n$, начиная с которого остаток ряда меньше заданного числа. Нужно найти выражение следующего за ним числа через эпсилон?

Перечитайте еще раз, что Вы нашли. На примере конкретного эпсилон. Перед этим было. Вы сейчас не понимаете, что говорите и какое отношение оно имеет к реальности. :(

-- 07.12.2014, 19:58 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941878 писал(а):

то я не знаю ни формулу для $n$-й суммы ряда, ни сумму ряда,

Оно Вам и не надо. Вам надо уметь оценить их разность.

[Nurzery[Rhymes]]

Ладно, в определении говорится, что должен существовать номер $N$, начиная которого разность под модулем будет меньше эпсилон. Я нашел, что это условие выполняется для всех $n > \frac{1+3\varepsilon}{4\varepsilon}$. Мне надо выразить $N$? По определению $n>N$, стало быть, надо найти предыдущее $n$, для которого данное условие еще не выполняется.

[ИСН]

Не надо находить предыдущее $n$, для которого данное условие еще не выполняется. В определении нигде не говорится, что для номеров меньше $N$ условие должно нарушаться. Или говорится? Посмотрите ещё раз.

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #941898 писал(а):

Не надо находить предыдущее $n$, для которого данное условие еще не выполняется. В определении нигде не говорится, что для номеров меньше $N$ условие должно нарушаться. Или говорится? Посмотрите ещё раз.

Выполняется для $n>N$, и мне известна оценка $n$, значит, надо найти первое целое число до $n$ и сказать, что после него остаток ряда меньше эпсилон.

[provincialka]

А можно и не до. Можно и после. Подумаешь, парочку номеров потеряете, их же бесконечное число.

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941901 писал(а):

значит, надо найти первое целое число до $n$

Точно искать не надо. Следующее за ним сработает так же хорошо.