ИСН ведь предыдущим постом предложил хороший метод, как можно без.
Этот метод использует то, что правильный писаный тетраэдр имеет максимальный объем. Это кажется очевидным, но доказать это можно также, как для любой пирамиды - через производную. Можно и другими более сложными методами.
Легко доказать следующее утверждение:
Вписанный тетраэдр, у которого имеются неравные ребра, не может быть наибольшего объема.
Однако это не то же самое, что утверждение:
Правильный тетраэдр имеет наибольший объем из всех вписанных тетраэдров.