2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Действия с ортогональными матрицами.
Сообщение02.12.2014, 11:25 
Найти касательное пространство к группе $SO(3)$ в данной точке.
Точка $A=\begin{pmatrix}
 \sqrt{3}/2 &1/2  &0 \\
 -1/2&\sqrt{3}/2  &0 \\
0 &0  &1 
\end{pmatrix}$ задана ортогональной матрицей, $A\cdot A^t=E$, где $A^t$ - это транспонированная матрица $A$, а $E$ - единичная матрица. Чтобы найти касательное пространство, нужно доказать, что касательное пространство к группе $SO(3)$ состоит из кососимметричных матриц $X$ ($X^t=-X$).
Заметим, что $X^tA + AX^t=0$, тогда
$X^t=-A^tXA^t$,
$(AX)^t=X^tA^t=-A^tXA^tA^t$.
Однако, следующий переход мне не понятен (кто-нибудь может расписать?):
$(AX)^t\cdot A^tA^t=-A^tAXA^t$.

Далее всё очевидно:
$-A^tAXA^t=-XA^t$
$X^t=-X$
p.s.: Если кому-то интересен ход решения, могу дописать его до конца, а пока меня интересует только переход выше.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение02.12.2014, 12:12 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

mellom
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Картинку сносите.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение02.12.2014, 19:51 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Действия с ортогональными матрицами.
Сообщение02.12.2014, 20:10 
Если это хоть как-то поможет, то $A^tA^tA^t=\begin{pmatrix}
 0&-1  &0 \\
 1&0  &0 \\
 0&  0& 1
\end{pmatrix}$

 
 
 
 Re: Действия с ортогональными матрицами.
Сообщение02.12.2014, 20:37 
Аватара пользователя
mellom писал(а):
Чтобы найти касательное пространство, нужно доказать, что касательное пространство к группе $SO(3)$ состоит из кососимметричных матриц $X$ ($X^t=-X$).
...
Например, здесь тривиально доказывается (я помню это док-во еще из лекций Мищенко, давным-давно читанных мне на дифгеме), что так устроено кас. пространство в единице. Но у вас-то точка касания - явно не единица, так откуда уверенность, что пространство не меняется? :shock:
(Кстати, указанный там способ отыскания кас. пр-ва может помочь и здесь).

 
 
 
 Re: Действия с ортогональными матрицами.
Сообщение02.12.2014, 21:22 
Brukvalub в сообщении #939259 писал(а):
[quote="Но у вас-то точка касания - явно не единица, так откуда уверенность, что пространство не меняется? :shock:

Так в лекции, которую вы прикрепили, рассматривается случай с единицей и говорится, что этого вполне достаточно.
Однако, не понимаю, каким образом перенести то доказательство на мой случай :|

 
 
 
 Re: Действия с ортогональными матрицами.
Сообщение03.12.2014, 23:29 
Разобрался при помощи лекции выше. Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group