2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Матрица с диагональным преобладанием.
Сообщение21.11.2014, 08:51 
Привет всем.
Нужно привести матрицу к виду с диагональным преобладанием.
$
\left( \begin{array}{cccc}
1 & 5 & 3 & -4\\
3 & 1 & -2 & 0\\
5 & -7 & 0 & 10\\
0 & 3 & -5 & 0
\end{array} \right)$
Т. е., как понимаю, модуль каждого диагонального элемента матрицы должен быть больше суммы модулей элементов на той же строке. Пытался применить элементарные преобразования: к одной строке прибавлял другую (или даже - другие), умноженную на некоторое число. Несколько раз уже получалось так, что одна строка все равно оказывалась не "диагонализированной"... :(
Может быть, есть какие-то алгоритмы, упрощающие поиск таких строк?
p. s. Есть ещё вектор свободных коэффициентов - но здесь он, думаю, не понадобится. Нужно получить решения системы - методами Якоби, Зейделя - но обязательно получить диагональное преобладание.

 
 
 
 Re: Матрица с диагональным преобладанием.
Сообщение21.11.2014, 19:41 
Аватара пользователя
Найдите максимальный элемент в объединении первого столбца и первой строки. Если он в первой строке - поменяйте местами первый столбец и столбец с максимальным элементом. Если он в первом столбце - поменяйте местами строки. Далее первую строку и столбец не трогайте и работайте точно также по индукции с матрицей размером на единицу меньше.

 
 
 
 Re: Матрица с диагональным преобладанием.
Сообщение22.11.2014, 00:10 
nickname2014, я алгоритм не знаю, но на мой взгляд, тут невозможно запутаться. Почти уверен, Вы уже всё сделали самостоятельно.

Во-первых, нужно проверить: есть ли уравнения c «диагональным преобладанием». В данном случае это последнее (четвёртое) уравнение. Его запишем в третью строчку новой системы.

Остальные уравнения нужно преобразовывать. Умножив второе уравнение на 3, и вычтя четвертое уравнение исходной системы, получим $9x + 0y -z = \ldots$. Это уравнение запишем в первую строку новой системы.

Прибавив к первому уравнению четвертое уравнение, получим ..., и запишем во вторую строку.

Прибавив к третьему уравнению линейную комбинацию второго и четвертого уравнений (ясно какую), запишем результат в четвёртую строку новой системы.

мат-ламер, я не понял Ваш алгоритм. Нельзя ли пояснить: как получается первое уравнение новой системы?

 
 
 
 Re: Матрица с диагональным преобладанием.
Сообщение22.11.2014, 00:23 
GAA в сообщении #934419 писал(а):
, я алгоритм не знаю,

А его и нет. Т.е. в общем случае невозможно привести матрицу к диагональному преобладанию хоть сколько-то универсальным способом. Т.е. алгоритмически эта задачка -- абсолютно незначима.

-- Сб ноя 22, 2014 01:27:05 --

мат-ламер в сообщении #934294 писал(а):
и работайте точно также по индукции с матрицей размером на единицу меньше.

Это проигрывает тупому методу Гаусса всего лишь в несколько раз, а надо бы проиграть -- хотя бы в несколько тысяч; только в этом случае можно было бы говорить хоть о каком-то преимуществе подобного подхода.

 
 
 
 Re: Матрица с диагональным преобладанием.
Сообщение22.11.2014, 20:59 
Аватара пользователя
GAA в сообщении #934419 писал(а):
мат-ламер, я не понял Ваш алгоритм. Нельзя ли пояснить: как получается первое уравнение новой системы?

Как выяснилось, я не совсем понял насчёт диагонального преобладания. В конечных методах (типа Гаусса) под диагональным преобладанием понимают ситуацию, когда диагональный элемент по модулю больше чем элементы справа и снизу от него. Это гарантирует отсутствие накопления ошибок при вычислениях. Мой алгоритм относился к этому случаю. А для итеративных методов требования по диагональному преобладанию жёстче.

 
 
 
 Re: Матрица с диагональным преобладанием.
Сообщение22.11.2014, 22:13 
мат-ламер в сообщении #934820 писал(а):
В конечных методах (типа Гаусса) под диагональным преобладанием понимают ситуацию,

В методах Гаусса подобную терминологию вообще не употребляют. Там потребляют типо "главный элемент", но это вообще в сторону.

А тут предлагалося исключительно некая игра в бисер: подсадить конкретную систему под методически извращённый метод. Который в боевой обстановке, естественно, никакого практического значения и не имеет. Просто поиграться захотелось.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group