Сходимость ряда

[Jiggy]

И снова вопрос по рядам.
$ \sum\limits_{1}^{ \infty }(\cos( \frac{1}{n}) - \sin( \frac{1}{n^p} ) - e^{\frac{1}{n^p} })$

Чую, что нужно по Тейлору, но что-то не выходит... направьте студента)

[Evgenjy]

К чему стремиться $n$-ый член ряда?

[Jiggy]

Evgenjy в сообщении #931083 писал(а):

К чему стремиться $n$-ый член ряда?

Если p>0, то к 0.

[mihailm]

Jiggy в сообщении #931079 писал(а):

...Чую, что нужно по Тейлору, но что-то не выходит... направьте студента)

Конкретно, что не выходит с Тейлором?

[Evgenjy]

Jiggy в сообщении #931084 писал(а):

Если p>0, то к 0

Нет

[Jiggy]

mihailm в сообщении #931085 писал(а):

Jiggy в сообщении #931079 писал(а):

...Чую, что нужно по Тейлору, но что-то не выходит... направьте студента)

Конкретно, что не выходит с Тейлором?

Я не очень понимаю до какого момента нужно раскрывать cos, sin и e.

[mihailm]

Раскройте до какого нибудь, там посмотрим

[Jiggy]

mihailm в сообщении #931091 писал(а):

Раскройте до какого нибудь, там посмотрим

$ \cos(1/n) = 1 - 1/(2! \cdot n^2 ) + ... + 1/((2k)! \cdot n^{2 \cdot k}) + o(1/n^{2 \cdot k}) $
$ \sin(1/n^p) = 1/n^p +o(1/n^p) $
$ e^{1/n^p} = 1 + 1/n^p + o(1/n^p) $

Вобще по идее дальше можно было бы сказать, что при p>1 сходится, а иначе расходится. Но не уверен.

[mihailm]

Подставьте в ряд

[Jiggy]

mihailm в сообщении #931098 писал(а):

Подставьте в ряд

$ 1 - 1/(2! \cdot n^2 ) + ... + 1/((2k)! \cdot n^{2 \cdot k}) + o(1/n^{2 \cdot k}) -1/n^p - o(1/n^p) - 1 - 1/n^p - o(1/n^p) = - 1/(2! \cdot n^2 ) + ... + 1/((2k)! \cdot n^{2 \cdot k}) + o(1/n^{2 \cdot k}) -2/n^p - o(1/n^p) $

[mihailm]

То ли я чего то не понимаю, то ли вы. В общем забейте

[Jiggy]

mihailm в сообщении #931122 писал(а):

То ли я чего то не понимаю, то ли вы. В общем забейте

Неужели не получится(

[ИСН]

Ваш первоначальный вопрос наводит на мысли о перепутанных цифрах и знаках, напрасно брошенных спасательных кругах, лютых штормовых ветрах и последнем крике в ночном прибое.
По существу: в последней сумме какой член главный (т.е. самый жирный при больших $n$)?

[Jiggy]

ИСН в сообщении #931133 писал(а):

Ваш первоначальный вопрос наводит на мысли о перепутанных цифрах и знаках, напрасно брошенных спасательных кругах, лютых штормовых ветрах и последнем крике в ночном прибое.
По существу: в последней сумме какой член главный (т.е. самый жирный при больших $n$)?

1/n^p$$

[provincialka]

Будем считать, что $p>0$, так что $1/n^p\to 0$.
Первое, чо бросается в глаза: в одном слагаемом $1/n$, в других - $\frac1{n^p}$. Путаница. Лучше эти слагаемые рассматривать отдельно.
Слагаемое $\cos \frac1n$ стремится к 0 как и $e^{\frac1{n^p}}$. Вычтем эту единицу из каждого. Тогда ряд сожно разбить на два:
$ \sum\limits_{1}^{ \infty }(\cos( \frac{1}{n}) - 1)$ и
$ \sum\limits_{1}^{ \infty }(1 - e^{\frac{1}{n^p} }- \sin( \frac{1}{n^p} ))$
Первый ряд исследуется легко, благо он без параметра. А во втором можно найти главную часть как степень выражения $\frac{1}{n^p}$ и, следовательно, как степень $\frac{1}{n}$