В наше время арифметикой Пеано обычно называют аксиоматику арифметики первого порядка, то есть множеств там вообще нет, только числа. Но у Вас в книге, похоже, не так.
1) Можно ли понимать четвертую аксиому Пеано (если натуральное число

непосредственно следует как за числом

, так и за числом

, то

и

тождественны) как если

с

и

c

соответственно образуют упорядоченные пары, то

и

тождественны?
Не понимаю, при чем тут пары. Понимать аксиому следует так, как она написана: Если

предшествует

и

предсшествует

, то

и

равны, то есть у числа не может быть более одного предшествующего.
Например, если мы возьмем 3 символа

,

и

и зададим на них следование так, что

следует за

,

следует за

, и

следует за

, то будут выполняться все аксиомы Пеано, кроме рассматриваемой.
2) Аксиома Евдокса–Архимеда гласит, что для любых натуральных чисел

и

существует такое натуральное число

, что

. Это утверждение свидетельствует об отсутствии бесконечно малых или бесконечно больших величин. Каким образом?
Это некое интуитивное утверждение, забейте на него.
3) Аксиома индукции. Если некоторое множество натуральных чисел содержит единицу и вместе с каждым натуральным числом, входящим в него, содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа. Верно ли записывать эту аксиому так:

Значок включения множеств в другую сторону.