Восстановить каноническое уравнение кривой

[Shtorm]

SlayZar в сообщении #925468 писал(а):

думаю все же первая директрисса имеется ввиду та, что слева...

Я тоже обычно так и считаю, но посмотрите на исходное условие: точки $F_1, D_1$ имеют все положительные координаты, а $D_2, F_2$ - все отрицательные. Получается, что приведя к каноническому виду, в левой части эллипса мы имеем $D_2, F_2$, а в правой $F_1, D_1$. Если нумерация именно такая в условии, то подстрочному индексу $ 1$ должна и соответствовать директриса с номером $1$. Хотя возможно в этот раз я в чём-то ошибаюсь

[SlayZar]

Shtorm в сообщении #925474 писал(а):

SlayZar в сообщении #925468 писал(а):

думаю все же первая директрисса имеется ввиду та, что слева...

Я тоже обычно так и считаю, но посмотрите на исходное условие: точки $F_1, D_1$ имеют все положительные координаты, а $D_2, F_2$ - все отрицательные. Получается, что приведя к каноническому виду, в левой части эллипса мы имеем $D_2, F_2$, а в правой $F_1, D_1$. Если нумерация именно такая в условии, то подстрочному индексу $ 1$ должна и соответствовать директриса с номером $1$. Хотя возможно в этот раз я в чём-то ошибаюсь

Да, скорее всего Вы правы, спасибо за помощь)

[Shtorm]

Думал всё, что же мы с Вами забыли или не учли. А оказывается вот что:

SlayZar в сообщении #925239 писал(а):

требуется найти точку пересечения касательной в $A=(x_0,y_0)=(\frac{162-74\sqrt3}{2}, \frac{162\sqrt3+74}{2}}$) и первой директрисы

Так координаты-то точки касания даны, ясно дело, в старой системе координат!
А мы их суём без изменения в новую систему! Как говорит ИСН, за это в старину камнями побивали!

[SlayZar]

Да, точно, поэтому и ответ такой страшный получился...
Значит, мы должны их перевести в новую систему координат. Но мы же не знаем матрицу перехода... Как мы тогда это сделаем? Или возможно тогда будет удобнее все же в старой системе координат все решать?

[Shtorm]

SlayZar, лично мне видится такой вариант: определяем координаты середины отрезка $F_1F_2$ в старой системе координат - тем самым мы узнаем координаты центра эллипса в старой системе координат (ССК). Далее, зная угловой коэффициент прямой $F_1F_2$ в ССК - узнаём на какой угол повёрнут эллипс относительно оси абсцисс в ССК. Далее, вводим новую систему координат (НСК). Начало НСК совмещаем с центром эллипса, и ось абсцисс НСК поворачиваем против часовой стрелки относительно оси абсцисс ССК на тот же угол, что и повёрнута фокальная ось эллипса $F_1F_2$ в ССК. Теперь используем формулы преобразования координат и легко находим координаты точки $A$ в НСК.

[SlayZar]

Середина $F_1F_2$ - $(1-\sqrt3, 1+\sqrt3)$
$k=\sqrt 3$, а значит эллипс повёрнут на $60$ градусов относительно оси абсцисс в ССК
Начало НСК в точке $(1-\sqrt3, 1+\sqrt3)$
Значит матрицей перехода будет матрица $$\begin{pmatrix} cos \phi & -sin \phi \\ sin \phi & cos \phi \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \\ \frac{\sqrt3}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}

Тогда координаты точки $A$ в этой системе координат находятся по формуле
$x=x'cos \phi -y'sin \phi$
$y= x'sin \phi +y'cos \phi$

Значит,
$\frac{162-74\sqrt3}{2} = \frac{x'}{2}- y'\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{162\sqrt3+74}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x'+\frac{y'}{2}$

Отсюда, $x'=162, y'=74$. Координаты точки в НСК $(162,74)$
Точкой пересечения тогда будет $(250, -\frac{90}{37})$. Вроде бы верно...

[Shtorm]

SlayZar в сообщении #925509 писал(а):

Тогда координаты точки $A$ в этой системе координат находятся по формуле
$x=x'cos \phi -y'sin \phi$
$y= x'sin \phi +y'cos \phi$

Формулы полного преобразования координат:

$$x'=(x-x_0)\cos\varphi+(y-y_0)\sin\varphi$$

$$y'=(y-y_0)\cos\varphi-(x-x_0)\sin\varphi$$

где $(x_0,y_0)$ - координаты начала новой системы координат в ССК, то есть координаты центра эллипса в ССК.
Да, Вы так и нашли, только не учли $(x_0,y_0)$. То есть поворот учли, а сдвиг не учли в Ваших формулах.

[SlayZar]

Shtorm
Про НСК и ССК я так и считал, просто забыл про $x_0, y_0$
Тогда
$x'=(\frac{162-74\sqrt3}{2}-1+\sqrt{3})\frac{1}{2}+(\frac{162\sqrt3+74}{2}-1-\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y'=(\frac{162\sqrt3+74}{2}-1-\sqrt{3})\frac{1}{2}-(\frac{162-74\sqrt3}{2}-1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$x'=40-18\sqrt3+120+18\sqrt{3}=160$
$y'=40\sqrt3+18-(sqrt{3}-54)=72$

и тогда нужная точка пересечения директрисы и касательной получается $(250,0)$
Фух... Теперь уж вроде бы всё, большое спасибо за помощь)

[Shtorm]

SlayZar, но учтите, я арифметику - ну совершенно не проверял! А то скажете потом, вот типа Shtorm виноват

[SlayZar]

Shtorm в сообщении #925532 писал(а):

SlayZar, но учтите, я арифметику - ну совершенно не проверял! А то скажете потом, вот типа Shtorm виноват

Ну я еще пересчитаю все, когда писать буду, но ответ хороший получился, так что скорее всего все правильно)

[korobka]

Господа, аналогичнейшая проблема с касательной, но у меня гипербола.
Пройдут ли вышеизложенные рассуждения?

[Shtorm]

korobka, смотря какие конкретные условия Вашей задачи. Приведите условие.

[korobka]

Найти точку пересечения касательной в точке $A = (\frac{(39 - 18.2\sqrt{3})}{2}, \frac{(39\sqrt{3} +18.2)}{2} )$

Директрисы проходят через точки $D_1 = (\frac{(59.25 - 2 \sqrt{3})}{2}, \frac{(59.25 \sqrt{3}+2)}{2}), D_2 = (\frac{(-53.25 - 2 \sqrt{3})}{2}, \frac{(-53.25 \sqrt{3}+2)}{2})$

Фокусы: $F_1 = (\frac{(39 - 2 \sqrt{3})}{2}, \frac{(39 \sqrt{3}+2)}{2}), F_2 = (\frac{(-33 - 2 \sqrt{3})}{2}, \frac{(-33\sqrt{3}+2)}{2})$

[Lia]

Однокашники, чтоль?

korobka
Открывайте другую тему и приведите Ваши попытки решения.

[Shtorm]

korobka, и так, как сказала Lia, открывайте новую тему, перекопируйте туда условия и будем решать. То есть Вы будете решать, а мы будем со стороны смотреть и комментировать . Конечно, вышеизложенные рассуждения пройдут.