Поверхность второго порядка

[MestnyBomzh]

Есть поверхность второго порядка: $\frac{x^2}{400}-\frac{z^2}{400}+\frac{xy}{200}-2z(\frac{y}{400}+1)-2=0$ и плоскость: $ax+y-1=0$. И нужно рассмотреть при разных $a$ по какой кривой пересекаются плоскость и поверхность. Я составил параметрическое уравнение плоскости и подставил соответствующие координаты в уравнение поверхности. Однако собственные числа ужасны, да и у Лагранжа тоже нереальные числа. Есть ли какой-то простой способ?

[ИСН]

Не знаю, что такое параметрическое уравнение плоскости и зачем оно. Можно тупо выразить одну переменную через обычное, вот это уравнение плоскости, и исключить её из уравнения поверхности, подставив вместо неё это выражение. Останется какая-то кривая в двух переменных. Это проекция Вашей кривой. Теперь снова вытащим то выражение и достроим переменную, которую исключили; всё вместе это и будет наша кривая.

[MestnyBomzh]

ИСН
Получил я проекцию фигуры, а как достроить обратно переменную $y$?

[ИСН]

А исключили Вы её как?

[MestnyBomzh]

ИСН
$y=1-ax $. Потом подставил в уравнение поверхности.

[ИСН]

Вот это и является ответом на Ваш вопрос. Как её восстановить? Да вот же она.

-- менее минуты назад --

Хотя тут мы упираемся в более сложные философские вопросы: как в принципе задаётся кривая второго порядка в пространстве, и что Вам от неё нужно. Может, нужен-то только тип?

[MestnyBomzh]

Нужен только тип: при каких $a$ плоскость пересекает поверхность по эллипсу, параболе, гиперболе

[Shtorm]

MestnyBomzh в сообщении #925180 писал(а):

Я составил параметрическое уравнение плоскости

ИСН в сообщении #925196 писал(а):

Не знаю, что такое параметрическое уравнение плоскости

Если говорить об уравнении в единственном числе, то векторно-параметрическое уравнение плоскости:

$$\boxed{\vec{r}=\vec{r}_0+u\cdot \vec{e}_1+v\cdot \vec{e}_2}$$

где $u,v$ - параметры, $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ - направляющие векторы плоскости. Раскладывая это уравнение по координатам, получим параметрические уравнения плоскости (во множественном числе):

$$\begin{cases}x=f_1(u,v),\\y=f_2(u,v),\\z=f_3(u,v)\end{cases}$$

Хотя, как пишет Александров в своей книге, эту систему можно назвать параметрическим уравнением - то есть в единственном числе, единственное число оправдано тем, что в действительности система трёх уравнений является лишь координатной записью одного уравнения.

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #925449 писал(а):

Нужен только тип: при каких $a$ плоскость пересекает поверхность по эллипсу, параболе, гиперболе

В подавляющем большинстве случаев для этого достаточно знать тип проекции. Проекция эллипса, например, явно не может оказаться ни параболой, ни гиперболой.

-- 02.11.2014, 19:18 --

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #925451 писал(а):

Если говорить об уравнении в единственном числе, то векторно-параметрическое уравнение плоскости:

:) я думаю, ИСН узнал сегодня много нового )))

[ИСН]

Ну если тип, то сначала определите тип поверхности. Потом для неё известно всё. Например, параболоид вращения даёт либо эллипс, либо параболу, либо точечное касание, либо ничего. Вот и надо найти, при каких $a$ (if any) одни из этих сценариев переходят в другие.

[Otta]

Только, кажись, сценарий в итоге будет тот же.

[MestnyBomzh]

Фигура: гиперболический параболоид. Вообщем, я получил такую штуку: $(1-2a)^2[x+\frac{1+az}{1-2a}]^2-(a-1)^2[z+\frac{401-801a}{(a-1)^2}]^2=801-1600a-\frac{(401-801a)^2}{(a-1)^2}$. Получается, что они всегда пересекаются по гиперболе?(кроме вырожденных случаев $a=1; a=\frac{1}{2}$) Это действительно так?

[ИСН]

Ну-с, если получили, то и ладненько. Теперь возьмите нормальный гиперболический параболоид и покрутите его в руках. Как его может рассечь плоскость? Горизонтальная - явно по гиперболе (*). Наклонная, наверное, тоже. А вертикальная? Так, а теперь какие положения относительно него может принимать наша плоскость? Все мыслимые вообще? Не все?

[MestnyBomzh]

ИСН
По вертикали должна быть парабола. В моем решении при $a=1$ должна получиться вообще одна точка пересечения, но по графику, кажись, это и есть та самая парабола.

-- 03.11.2014, 20:10 --

так что пойду проверять арифметику еще раз

[MestnyBomzh]

При подстановке $a=1$ Я забывал про знаменатель, который обращается в ноль. Пересчитал, действительно, парабола. При $a=\frac{1}{2}$ опять получаем гиперболу. И есть еще два вырожденных случая, когда $801-1600a-\frac{(401-801a)^2}{(a-1)^2}=0$ (здесь еще есть корень $\frac{1}{2}$, но он уже рассмотрен.) так вот, при этих двух значениях ($\frac{-399+\sqrt{160001}}{2}, \frac{-399-\sqrt{160001}}{2}$), по идее, получается две пересекающихся прямых (в обоих случаях)