Теория вероятностей

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть две задачки:

1) В некотором городе в течении года в среднем рождается $10^4$ детей. Средний рост новорожденных $50$ см, а СКО $\sigma = 2$ см.

Сколько в среднем новорожденных будут иметь рост от $48$ до $54$ см?

Мои мысли:

По условию, имеется некоторое распределение (нормальное?) с параметрами $M(X) = 50$ и $\sigma(X) = 2$. А дальше что делать не знаю. Если бы нужно было вычислить вероятность того, что новорожденный будет иметь рост от $48$ до $54$, то, вроде понятно как быть, но тут нужно найти нечто другое (мат. ожидание?) и зачем-то дано общее количество новорожденных.

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать.


2) В сети мобильной связи вы получаете в среднем $2$ вызова в час. Запишите аналитические формы дифференциального и интегрального законов распределения времени между двумя последовательными вызовами. Какова вероятность того, что в течении текущего часа вы получите $3$ вызова по мобильной связи?

В этой задаче нужно использовать распределение Пуассона?

Спасибо!

[upgrade]

Limit79 в сообщении #921271 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать.

надо посмотреть график нормального распределения и учесть вероятность попадания величины в интервал, ограниченный стандартным отклонением

[Limit79]

upgrade в сообщении #921276 писал(а):

учесть вероятность попадания величины в интервал, ограниченный стандартным отклонением

Этот интервал -- $(48;52)$?

[Алексей К.]

Limit79 в сообщении #921271 писал(а):

Если бы нужно было вычислить вероятность того, что новорожденный будет иметь рост от $48$ до $54$, то, вроде понятно как быть,

Если мне тоже было бы понятно, как вычислить эту вероятнось (чай, какой-то интегральчик нищасный сосчитать), то я бы её вычислил, умножил бы на общее количество новорождённых, и считал бы это решением задачи 1).

[arseniiv]

Limit79, вообще, да, корректнее искать матожидание суммы $10^4$ (независимо распределённых) случайных величин $Y_i = X_i \in [48; 54] \mathbin? 1 : 0$, где $X_1,\ldots,X_{10000}$ — независимые нормально распределённые случайные величины с указанными в задаче параметрами. По какой-то там теореме (забыл ) такая постановка сводится к тому, что сказал Алексей К..

[Otta]

Limit79 в сообщении #921271 писал(а):

В этой задаче нужно использовать распределение Пуассона?

Где-то нужно, где-то не нужно. Там разные вопросы.

По 1: Вы учтите, что распределение Вам не дано. Зато есть хорошая подсказка arseniiv, если ее додумать, то все получится. Средний рост двух новорожденных считать умеете? а 10 тыс.?

[Limit79]

Алексей К.
arseniiv
Спасибо! Попробую реализовать данную идею.

1) В некотором городе в течении года в среднем рождается $10^4$ детей. Средний рост новорожденных $50$ см, а СКО $\sigma = 2$ см.

Сколько в среднем новорожденных будут иметь рост от $48$ до $54$ см?

По условию: $a=50$ и $\sigma=2$, вероятность того, что новорожденный будет иметь рост от $48$ до $54$ см:

$$p = \text{Ф} \left ( \frac{54-50}{2} \right) - \text{Ф} \left ( \frac{48-50}{2} \right) = 0.819$$

Пусть $X$ -- дискретная случайная величина -- количество новорожденных, с ростом от $48$ до $54$ см. $X$ принимает значения от $0$ до $10^4$.

Проводится $n=10^4$ независимых опытов (рождения детей), в каждом из которых, вероятность рождения ребенка, с ростом от $48$ до $54$ см постоянна и равна $p=0.819$.

Случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение ( ), и, искомое среднее

$$M(X) = np = 10^4 \cdot 0.819 = 8190$$

Как-то так?

-- 20.10.2014, 20:49 --

Otta в сообщении #921319 писал(а):

Где-то нужно, где-то не нужно. Там разные вопросы.

Я может сейчас скажу чушь , но по вопросу

Limit79 в сообщении #921271 писал(а):

Запишите аналитические формы дифференциального и интегрального законов распределения времени между двумя последовательными вызовами.

нужно использовать показательное распределение, где $\frac{1}{\lambda} = 2$

а по

Limit79 в сообщении #921271 писал(а):

Какова вероятность того, что в течении текущего часа вы получите $3$ вызова по мобильной связи?

нужно воспользоваться формулой Пуассона?

-- 20.10.2014, 20:50 --

Otta
По первому пункту выше отписался

[Otta]

Нет. Все плохо. С головы до пят. С $p$ и до матожидания.
Кто дал Вам право считать рост новорожденного нормально распределенной случайной величиной? Откуда $\Phi$?

Не трожьте Вы его, этот рост. Все сначала и принципиально иначе.

-- 20.10.2014, 22:53 --

Limit79 в сообщении #921320 писал(а):

нужно использовать показательное распределение,

Да.

Limit79 в сообщении #921320 писал(а):

нужно воспользоваться формулой Пуассона?

Да.

[Limit79]

Otta

Otta в сообщении #921319 писал(а):

Зато есть хорошая подсказка arseniiv

Но arseniiv писал про нормальное распределение, а Вы же сказали, что нельзя использовать нормальное распределение...

[Otta]

В том виде, в котором arseniiv писал, нельзя. Но подсказка годная. После доводки. Вы еще мою переработайте, даже если Вам кажется, что она ни о чем. ))

Если бы было дано в условии, что рост - нормально распределен, то и решать было бы нечего.

[Limit79]

Otta
Средний рост $n$ новорожденных будет

$$\frac{X_{1}+X_{2} + ... + X_{n}}{n}$$

где $X_{i}$ -- рост $i$-го новорожденного.

Только непонятно, почему , $X_{i} \in [48;54]$, ведь рост может быть любым.

[Otta]

Не, таки я не права. Ничего Вам это мое указание не даст, если распределение роста неизвестно.
Для нормального - Ваше решение годится.
Но это нехорошо, что в условии этого нет. Хотя по жизни рост и считают нормально распределенным, но оговаривать все-таки это надо.

[Limit79]

Otta
То есть тут другого варианта решения нет?

[upgrade]

Limit79 в сообщении #921327 писал(а):

Только непонятно, почему , $X_{i} \in [48;54]$, ведь рост может быть любым.

он и будет любым, но от $48$ до $54$ будет больше.

[Limit79]

По второй задачке немного не понял.

Так как "В сети мобильной связи вы получаете в среднем $2$ вызова в час", то в показательном распределении $M(X)=2$.

Для показательного распределения $M(X) = \frac{1}{\lambda}$, откуда $\lambda = \frac{1}{2}$.


Для вычисления вероятности того, что в течении текущего часа вы получите $3$ вызова по мобильной связи, используем формулу Пуассона:

$$p(m) = \frac{\lambda^m \cdot e^{- \lambda}}{m!}$$

Но вот здесь лямбда-то по идее должна быть равна $2$ (так как в этой формуле лямбда - это среднее число появлений события), то есть это разные лямбды?