Каждый отрезок - в отрезок

[Ktina]

Пусть функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ переводит каждый отрезок в отрезок. Следует ли отсюда, что она непрерывна?

[Nemiroff]

Атомной бомбой по воробьям: теорема Серпинского.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Ответ

[arqady]

Видимо, если функция не монотонна и обладает нашим свойством, то имеется какой-то очевидный контр-пример,
но я его не вижу.

[TOTAL]

А если типа $\sin(1/x)$?

[arqady]

А что в нуле?

[TOTAL]

arqady в сообщении #916442 писал(а):

А что в нуле?

Любое значение, принимаемое синусом.

[Ktina]

Lia в сообщении #916410 писал(а):

...
Ответ

А каким образом теорема Дарбу помогает нам решить эту задачу?

[Someone]

Ktina в сообщении #916460 писал(а):

А каким образом теорема Дарбу помогает нам решить эту задачу?

Ежели Вы найдёте функцию $f(x)$, которая во всех точках числовой прямой имеет производную, но эта производная не является непрерывной, то $f'(x)$ будет контрпримером к вашему утверждению.

[Lia]

Ktina в сообщении #916460 писал(а):

А каким образом теорема Дарбу помогает нам решить эту задачу?

Да никаким. Это обратный результат, ясно. :) С примечанием, что обратное неверно, и примером. Который уже приводился выше.

[RIP]

Someone в сообщении #916491 писал(а):

Ktina в сообщении #916460 писал(а):

А каким образом теорема Дарбу помогает нам решить эту задачу?

Ежели Вы найдёте функцию $f(x)$, которая во всех точках числовой прямой имеет производную, но эта производная не является непрерывной, то $f'(x)$ будет контрпримером к вашему утверждению.

Контрпример к Вашему утверждению уже обсуждался тут.

[Someone]

RIP в сообщении #916513 писал(а):

Контрпример к Вашему утверждению уже обсуждался тут.

Точно.