Наименьшее значение наибольшего числа

[Ktina]

Даны положительные вещественные числа $a$ и $b$.
Найти наименьшее значение, которое может принимать наибольшее из чисел:

$$a,\quad b,\quad\dfrac{1}{a+b}$$

[Edward_Tur]

$\frac {1}{\sqrt 2}$

[Ktina]

Edward_Tur в сообщении #915603 писал(а):

$\frac {1}{\sqrt 2}$

Вопрос в том, как к этому прийти. У меня получилось интуитивно, но что делать, если интуитивно не получается?

[ИСН]

Если наибольшее значение не равно никакому другому, то малым изменением a или b (уменьшив его, если это оно и есть, или увеличив, если нет) мы добьёмся того, что оно чуть-чуть уменьшится, оставаясь наибольшим. Значит, оно должно быть приклеено к одному из этих. Дальше как-то просто.

[Sonic86]

Это просто задача по матанализу на нахождение минимума функции 2-х переменных.

[ИСН]

Матанализ матанализу рознь. Формально так, но это функция, у которой by design экстремум находится на одной из линий излома, где производных нет. Так что нечего с ними и разговаривать.

[arqady]

Ktina в сообщении #915597 писал(а):

Даны положительные вещественные числа $a$ и $b$.
Найти наименьшее значение, которое может принимать наибольшее из чисел:

$$a,\quad b,\quad\dfrac{1}{a+b}$$

Пусть $\max\{a,b,\frac{1}{a+b}\}=k$.
Тогда $2k\geq a+b\geq\frac{1}{k}$.
Откуда $k\geq\frac{1}{\sqrt2}$ и равенство, понятно, достигается.

[ewert]

Я бы поступил грубее, в лоб. Сравнивать надо $b$, $tb$ и $\frac1{(1+t)b}$. Если $t\geqslant1$, то наибольшим из трёх будет $tb$ или $\frac1{(1+t)b}$, и просто в силу противоположных монотонностей относительно $b$ минимум максимума достигнется при их совпадении, т.е. при $b=\frac1{\sqrt{t(1+t)}}$ и будет равен, соответственно, $tb=\sqrt{\frac t{1+t}}=\sqrt{1-\frac1{1+t}}$. Это -- при фиксированном $t$, а наименьшее значение этого минимума получится при наименьшем допустимом значении $t$, т.е. при $t=1$. Если же $t\leqslant1$, то всё аналогично, только немного проще, т.к. сравнивать придётся $b$ и $\frac1{(1+t)b}$. И никакого анализа.

Хотя вариант с неравенствами, конечно, лучше; но ведь его же ещё придумать нужно.

[Ktina]

Sonic86 в сообщении #915779 писал(а):

Это просто задача по матанализу на нахождение минимума функции 2-х переменных.

МАТАН в восьмом классе - это как-то... антигуманно. А задача именно для восьмого класса.

[Александрович]

Пусть $a=b$ и $a=\frac{1}{2a}$.