Тензор инерции стержня!

[anatolij111]

Добрый день! Помогите,пожалуйста, решить задачу:

Посчитать тензор инерции однородного стержня длины l массы m относительно центра масс. Найти главные оси и главные моменты инерции. Привести тензор инерции к диаго-нальному виду.

Сколько сайтов перерыл,никак не могу найти примеры задач по вычислению тензора и представления его в виде матрицы.

С помощью формулы теоремы штайнера нашел коэффициент пропорциональности и вычилил момент инреции однородного стержня относительно центра масс. Подскажите, что делать дальше?

P.S. Учусь не на физика, многое забылось со школы.

[Munin]

anatolij111 в сообщении #915317 писал(а):

С помощью формулы теоремы штайнера нашел коэффициент пропорциональности и вычилил момент инреции однородного стержня относительно центра масс.

Относительно какой оси?

[Omega]

anatolij111, если в лоб, то Вам нужно вычислить 6 интегралов вида:

$$J_{ij}=\int{(r^{2}\delta_{ij}^{2}-r_{i}r_{j} )\rho(\vec{r})dV}$$

После уже привести матрицу $J=[J_{ij}]$ к диагональному виду, собственно любым известным Вам методом, ну а после: главные моменты инерции - это диагональные компоненты новой матрицы, а главные оси - оси проходящие через вектора нового базиса. А если всё, что выше проделать не сможете, можно тогда найти ответы в соответствующей литературе.

[Munin]

...где $i,j$ пробегают значения $x,y,z,$ а интегралов 6, а не 9, потому что $J_{ij}=J_{ji}.$

[DimaM]

Munin в сообщении #915356 писал(а):

интегралов 6, а не 9

Удачным выбором осей (в случае стержня - очевидным) можно оставить три, из которых (опять же в случае стержня) достаточно вычислить один.

[fronnya]

В Сивухине про тензор инерции хорошо написанно.

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #915375 писал(а):

Удачным выбором осей (в случае стержня - очевидным) можно оставить три, из которых (опять же в случае стержня) достаточно вычислить один.

Да и тот одномерный.
Hint: чему равна толщина стержня?