Решение системы - гомоморфизм

[OlgaD]

Почему структурное? Его можно воспринимать как вложение $K$ в $L?$
Появился еще один вопрос на эту же тему. Что имеет в виду Манин, говоря о следующем соответствии понятий:

$$\left\{\begin{array}{l} \mbox{система уравнений}\; X\\ \mbox{над кольцом}\; K\\ \mbox{с неизвестными}\; T=(T_j)_{j\in J}\\ \end{array}\right\}\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} K\mbox{-алгебра}\; A \\ \mbox{с выделенной системой} \\ \mbox{образующих}\; t=(t_j)_{j\in J} \\ \end{array}\right\}?$$

Что означает "с выделенной системой образующих"? Если есть система $X,$ то определяя по ней идеал $P,$ мы получаем конечно порожденную алгебру $A=K[T]/P.$ Но почему именно с этими образующими? Разве образующими не будут образы многочленов $T_j$ при каноническом отображении $K[T]\rightarrow A?$ Потом, $t_j\in L!$
Как видите, разобралась не до конца.

[Evgenjy]

OlgaD в сообщении #909771 писал(а):

Его можно воспринимать как вложение $K$ в $L?$

Нет. Вложение обязательно инъекция.

OlgaD в сообщении #909771 писал(а):

Но почему именно с этими образующими?

Система образующих не важна. Смотрите комментарий сразу после указанного соответствия.

OlgaD в сообщении #909771 писал(а):

Потом, $t_j\in L!$

$A$ есть $K$-алгебра. Ee тоже можно рассматривать, как $L$.

[OlgaD]

Evgenjy в сообщении #909982 писал(а):

$A$ есть $K$-алгебра. Ee тоже можно рассматривать, как $L$.

А вот это совсем не понятно. Можете пояснить? $A$ - конечно порожденная $K$-алгебра и ее элементы - классы эквивалентности многочленов из $K[T]$ по модулю идеала системы $P.$ Ее образующими, как я понимаю, являются образы многочленов $T_j$ при гомоморфизме $K[T]\rightarrow A=K[T]/P.$ А вот уже гомоморфизм $A\rightarrow L$ переводит эти образующие в $t_j.$ Поэтому мне и не понятно, как набор $t=(t_j)$ стал системой образующих алгебры $A.$

[OlgaD]

Я могу построить только такое соответствие. Возьмем систему $X$ и рассмотрим ее идеал $P.$ Тогда можно построить $K$-алгебру $A=K[T]/P.$ Обратно, пусть есть алгебра $A=K[T]/P.$ По теореме Гильберта о нулях идеал $P$ имеет конечный базис. Приравняем элементы этого базиса к нулю. Тогда получим систему $X',$ эквивалентную системе $X.$

[OlgaD]

Evgenjy в сообщении #909982 писал(а):

Нет. Вложение обязательно инъекция.

Я думаю, все-таки это будет вложение кольца $K$ в центр алгебры $L.$