2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решение системы - гомоморфизм
Сообщение16.09.2014, 09:12 


06/12/13
274
Не могу понять следующее биекцию. Помогите разобраться, пожалуйста. Обозначения: $X$ - это система алгебраических уравнений $F_i(T_1,\ldots,T_n)=0,i\in I;$ $P$ - идеал, порожденный многочленами $F_i\in K[T_1,\ldots,T_n],$ где $K$ - произвольное (коммутативное) кольцо; $X(K)$ - множество всех решений системы $X.$ Можно также рассмотреть $K$-алгебру $L,$ а значит, и множество решений $X(L).$
Утверждается, что
Цитата:
$X(L)=\operatorname{Hom}_K(A,L),$ где $A=K[T_1,\ldots,T_n]/P,$ а $\operatorname{Hom}_K$ - множество гомоморфизмов $K$-алгебр.
Не понимаю как строится эта биекция между множеством решений системы и множеством гомоморфизмов.
Вот, например, система $X:\{x^2+y^2=1,x-y=0\}.$ Имеем $X(\mathbb{R})=\{(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2),(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)\}.$ Если рассматривать $\mathbb{R}$-алгебру $\mathbb{C},$ то $X(\mathbb{C})=\{(\pm\sqrt{2}/2-bi,\pm\sqrt{2}/2-bi)\}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение16.09.2014, 10:46 


06/12/13
274
Кажется, я неправильно вычислила $X(\mathbb{C}).$ Вроде как $X(\mathbb C)=X(\mathbb R).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение17.09.2014, 08:28 


13/08/14
349
Если Вы это разбираете по книге Ю. И. Манина "Афинные схемы", то там дано четкое и ясное доказательство.
OlgaD в сообщении #908362 писал(а):
Кажется, я неправильно вычислила $X(\mathbb{C}).$ Вроде как $X(\mathbb C)=X(\mathbb R).$

Вообще множества решений при различных $K$-алгебрах не обязаны совпадать, как не обязаны совпадать и соответствующие множества гомоморфизмов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение17.09.2014, 09:15 


06/12/13
274
Evgenjy в сообщении #908713 писал(а):
Если Вы это разбираете по книге Ю. И. Манина "Афинные схемы", то там дано четкое и ясное доказательство.
Именно по ней, и именно здесь и возникли вопросы. Проблема в том, что я не могу сообразить, что из себя представляют гомоморфизмы $K[T_1,\ldots,T_n]/P\rightarrow L.$ Можете пояснить на примере системы выше? У меня получается следующая цепочка: моя система $X$ - идеал $P=(x^2+y^2-1,x-y)$ - факторкольцо $A=\mathbb R[x,y]/P$ и я не понимаю, что в данном случае будет гомоморфизмом $A\rightarrow\mathbb R$ или $A\rightarrow\mathbb C.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение17.09.2014, 18:15 


13/08/14
349
OlgaD в сообщении #908715 писал(а):
я не понимаю, что в данном случае будет гомоморфизмом $A\rightarrow\mathbb R$ или $A\rightarrow\mathbb C.$

Если ищете корни в $\mathbb R$, то гомоморфизм $A\rightarrow\mathbb R$.
Если ищете корни в $\mathbb C$, то гомоморфизм $A\rightarrow\mathbb C$.

Возьмите одно уравнение $x^4-1=0$. Увидите разницу между действительным и комплексным случаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение17.09.2014, 20:04 


06/12/13
274
Evgenjy в сообщении #908886 писал(а):
Возьмите одно уравнение $x^4-1=0$. Увидите разницу между действительным и комплексным случаем.
Разницу между множествами решений исходной системы со значениями в различных кольцах я понимаю. Мой же вопрос изначально касался другого. Чему соответствуют элементы из факторкольца $A$ (на языке решения систем) и как строится гомоморфизм $A\rightarrow L.$
Evgenjy в сообщении #908886 писал(а):
Если ищете корни в $\mathbb R$, то гомоморфизм $A\rightarrow\mathbb R$.
Если ищете корни в $\mathbb C$, то гомоморфизм $A\rightarrow\mathbb C$.
Это как понимать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение18.09.2014, 09:14 


13/08/14
349
OlgaD в сообщении #908928 писал(а):
... со значениями в различных кольцах

Лучше сказать $K$-алгебрах.
OlgaD в сообщении #908928 писал(а):
как строится гомоморфизм $A\rightarrow L.$

Элемент факторкольца $A$ - это класс эквивалентности многочленов. Берете любой многочлен из этого класса эквивалентности и подставляете туда значение корня. Полученный элемент $K$-алгебры и будет образом элемента факторкольца $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение18.09.2014, 09:29 


06/12/13
274
Evgenjy в сообщении #909061 писал(а):
и подставляете туда значение корня
Под корнем имеете в виду решение системы над кольцом $K$ или $L?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение18.09.2014, 11:58 


13/08/14
349
OlgaD в сообщении #909065 писал(а):
Под корнем имеете в виду решение системы над кольцом $K$ или $L?$

Слово "корень" было неудачно. Читайте так:
Берете любой многочлен из этого класса эквивалентности и подставляете туда решение принадлежащее алгебре $L$.
Используя одно решение, получаете один гомоморфизм. Взяв другое решение получите другой гомоморфизм. Сколько решений в алгебре $L$ столько и будет гомоморфизмов $A\rightarrow L.$
Взяв вместо $L$ другую $K$-алгебру, получите другие решения и другие гомоморфизмы, где опять каждому решению будет однозначно соответствовать свой гомоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение18.09.2014, 13:41 


06/12/13
274
Я все равно не могу понять доказательство Манина, так как окончательно запуталась в его обозначениях. :oops:
Наверное, стоит попробовать придерживаться его обозначений и считать, что система $X$ содержит неизвестные $T=(T_j)_{j\in J}.$ Он пишет
Цитата:
Пусть $t=(t_j)\in X(L).$ Существует гомоморфизм $K$-алгебр $K[T_j]\rightarrow L,$ который на $K$ совпадает со структурным гомоморфизмом $K\rightarrow L,$ а $T_j$ переводит в $t_j.$
Сразу появляется вопрос что за гомоморфизм $K[T_j]\rightarrow L$ он имеет в виду? Может быть $K[T]\rightarrow L$ или все-таки для одной переменной? Что за структурное отображение? $T_j$ - переменная переводится в элемент решения $t_j$ (мы подставляем вместо каждого $T_j$ значение $t_j?$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение19.09.2014, 13:04 


06/12/13
274
Не знаю, насколько правильно, но я понимаю доказательство так. Пусть есть система $X$ над кольцом $K.$ Фиксируем произвольную точку $t=(t_j)\in X(L).$ Каждой такой точке можно поставить в соответствие гомоморфизм $\varphi_t:K[T]\rightarrow L,\;f\mapsto f(t),$ причем $P\subset\operatorname{Ker}\varphi_t.$ Значит, отображение $\varphi_t$ можно представить как композицию гомоморфизмов $K[T]\rightarrow A$ и $A\rightarrow L.$ Последний гомоморфизм определяется однозначно.
Наоборот, пусть дан гомоморфизм $K$-алгебр $A\rightarrow L.$ Значит есть и цепочка гомоморфизмов $K[T]\rightarrow A\rightarrow L.$ Предположим, что элементы $t_j\in L$ - это образы многочленов $T_j$ относительно данного "сквозного" гомоморфизма. А вот почему $(t_j)\in X(L)$ не совсем понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение19.09.2014, 15:42 


06/12/13
274
Хотя, может быть так? Если сквозной гомоморфизм переводит $T_j$ в $t_j,$ то по свойству гомоморфизмов колец имеем $aT_j\rightarrow at_j\;(a\in K)$ и $T_j^k\rightarrow t_j^k.$ Тогда любой многочлен $f\in K[T]$ переводится этим гомоморфизмом в $f(t),$ где по-прежнему $t=(t_j).$ Если мы возьмем $f\in P,$ то получим, что гомоморфизмом $K[T]\rightarrow A$ он переводится в нулевой класс, т.е. в нуль. Опять же по свойству гомоморфизмов нуль переводится в нуль, т.е. мы получаем $f(t)=0$ для любого $f\in P.$ Значит, $t=(t_j)\in X(L).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение19.09.2014, 20:59 


13/08/14
349
OlgaD в сообщении #909498 писал(а):
Хотя, может быть так?

Вы смогли сами разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение20.09.2014, 08:11 


06/12/13
274
Думаю, что не совсем сама, поэтому большое спасибо за помощь. Итак, каждому решению $X(L)$ соответствует гомоморфизм $A\rightarrow L,$ определяемый как подстановка этого решения в разные классы эквивалентности многочленов над $K.$ Другими словами, этот гомоморфизм однозначно определяется своими значениями в алгебре $L?$ Хотелось бы еще более точно представлять, что называется структурным гомоморфизмом алгебр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы - гомоморфизм
Сообщение20.09.2014, 09:12 


13/08/14
349
OlgaD в сообщении #909767 писал(а):
что называется структурным гомоморфизмом

$K\rightarrow L :k\mapsto k1_L,$, где $1_L$ - единица в $L$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group