Непрерывная функция

[srider0000]

Пусть функция $f(x)$ определена на множестве $X$ и $x_0$ -- внутренняя точка мн-ва $X$. Верно ли, что если $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, то она непрерывна также в некоторой окрестности точки $x_0$?

[Otta]

Нет, конечно. А пример сами попробуйте придумать. Или подсмотреть. :) В учебниках они есть.

[srider0000]

Я просто не понимаю, как функция может быть непрерывна во внутренней точке множества, но в любой сколь угодно малой окрестности этой точки обязательно найдётся точка, где эта функция разрывна.

[Otta]

А просто разрывную во всех точках можно предъявить?

[srider0000]

Фунция Дирихле?)

[ИСН]

Да. А теперь

ИСН в сообщении #448579 писал(а):

Если пчелиный рой загнать в длинный шланг и перевязать его верёвочками в 3 или 5 точках

[srider0000]

Верно ли, что в любой окрестности иррационального числа всегда найдётся хотя бы одно рациональное? :)

[Nemiroff]

srider0000 в сообщении #909197 писал(а):

Верно ли, что в любой окрестности иррационального числа всегда найдётся хотя бы одно рациональное?

А вы как думаете?

[srider0000]

Думаю, да. ) Тогда функция Римана -- контрпример моему утверждению из первого поста
Спасибо всем за помощь!

[SpBTimes]

А с Дирихле так и не додумали.

[vladb314]

srider0000 в сообщении #909174 писал(а):

Я просто не понимаю, как функция может быть непрерывна во внутренней точке множества, но в любой сколь угодно малой окрестности этой точки обязательно найдётся точка, где эта функция разрывна.

Это ещё что! Существует функция, непрерывная на отрезке и имеющая бесконечную длину! Каких только функций нет!

[Nemiroff]

vladb314 в сообщении #909596 писал(а):

Существует функция, непрерывная на отрезке и имеющая бесконечную длину!

Не знаю ни одной функции, имеющей длину. А высота у неё есть?

[vladb314]

Nemiroff в сообщении #909603 писал(а):

vladb314 в сообщении #909596 писал(а):

Существует функция, непрерывная на отрезке и имеющая бесконечную длину!

Не знаю ни одной функции, имеющей длину. А высота у неё есть?

Конечно же, подразумевается длина графика этой функции.

[Aritaborian]

Вы про $\sum \limits _{k=1} ^\infty \frac{\sin(k^2 x)}{k^2}$, например, или про что-нибудь другое?

[vladb314]

Aritaborian в сообщении #909609 писал(а):

Вы про $\sum \limits _{k=1} ^\infty \frac{\sin(k^2 x)}{k^2}$, например, или про что-нибудь другое?

Да-да-да, нигде не дифференцируемая.