О возникновении разных мат. теорий и прочее

[_hum_]

Xaositect в сообщении #908688 писал(а):

Начните с учебников по матлогике и познакомьтесь поподробнее.

Ясно. То есть, простому смертному понять это не дано. Ок.

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #908687 писал(а):

Я думаю, вариант 2 "сужает" вариант 1 :) Содержательно, $a$ - это символ для обозначения обычной вероятности, а $b$ - для условной. Есть два подхода - в одном условная вероятноcть самостоятельное понятие и теорема умножения является аксиомой (это вариант 1), и есть привычная колмогоровская теория, в которой условная определяется как производное понятие через отношение безусловных (вариант 2). Вроде "мощность" этих теорий одинакова.

С точки зрения формальной теории разницы между аксиомой и определением нет, так что это одна и та же теория.

Если рассмотреть такие теории:
1. Теория, в которой нет символа для условной вероятности.
2. Теория, в котором есть символ для условной вероятности и аксиома $P(AB) = P(B) P(A|B)$ или $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
То вторая - консервативное расширение первой

-- Ср сен 17, 2014 03:29:47 --

_hum_ в сообщении #908689 писал(а):

Ясно. То есть, простому смертному понять это не дано. Ок.

Почему же? Я считаю, что большинство простых смертных может выучить математическую логику при достаточной мотивации.

[_hum_]

Xaositect в сообщении #908690 писал(а):

С точки зрения формальной теории разницы между аксиомой и определением нет, так что это одна и та же теория.

Кхм... Но ведь в аксиому входит символ исходного алфавита, а при замене аксиомы определением он уже может быть изъят из исходного алфавита. Или я что-то путаю? То есть, если в одной теории есть символ $P_A$ условной вероятности в исходном алфавите и в аксиоме $P(AB) = P(A) P_A(B)$, а во второй нет символа в исходном алфавите и аксиомы, но этот символ встречается для обозначения определения, типа $P_A(B) ::= P(AB)/P(A))$, то разве это не считается все-таки разными теориями (ведь символ, обозначающий определение - это "синтаксический сахар")?

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #908690 писал(а):

Почему же? Я считаю, что большинство простых смертных может выучить математическую логику при достаточной мотивации.

О да, эти толстенные гроссбуки, с кучей символов и минимумом картинок, да и еще по такой ломающей голову обычному человеку теме. Это, действительно, надо сильная мотивация и время, чтобы это все выдержать (я не раз брался, но дальше доказательства непротиворечивости и полноты теории предикатов не доходило).

А хотелось бы что-нибудь "на пальцах", как в серии книг Босса (хотя у него про логику плохо написано), но в то же время и с достаточной степенью строгости.
Мне ж не для решения задач, а просто для создания общего представления, что ж такое творится в мире и математике, в частности.

[Xaositect]

Аксиомы и определения - это одно и то же потому, что это исходные пункты для выводов.

_hum_ в сообщении #908691 писал(а):

а во второй нет символа в исходном алфавите и аксиомы, но этот символ встречается для обозначения определения, типа $P_A(B) ::= P(AB)/P(B))$, то разве это не считается все-таки разными теориями (ведь символ, обозначающий определение - это "синтаксический сахар")?

А если нет символа, то как он появляется в формулах?

Xaositect в сообщении #908690 писал(а):

1. Теория, в которой нет символа для условной вероятности.
2. Теория, в котором есть символ для условной вероятности и аксиома $P(AB) = P(B) P(A|B)$ или $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

Вот тут переход от первой теории ко второй - это как раз введение символа $P(A|B)$ и его определения.

[_hum_]

Xaositect в сообщении #908692 писал(а):

А если нет символа, то как он появляется в формулах?

Как "синтаксический сахар" - то есть, его можно было бы не писать, а текстуально заменить тем, что он обозначает. Грубо говоря, это метасимвол, который после компиляции разворачивается в формулу, которая ему приписана.

-- Ср сен 17, 2014 04:02:59 --

Помните в теме "Как в аксиом. подходе формализуются определения ?" вы отвечали

Xaositect в сообщении #724482 писал(а):

У Рассела был такой оператор $\iota$. Терм $\iota x.F(x)$ означал объект, для которого выполняется $F$, если он единственен. Аксиома для использования этой штуки была что-то типа $G(\iota x . F(x)) \Leftrightarrow \exists ! x (F(x)) \& \forall y (F(y)\to G(y))$ (по смыслу такая, с конкретной формулировкой могу врать)

То есть, определение, вообще говоря, не предполагает никакого отдельного символа для определяемого объекта. И использование его, как мне видится, - это чисто для удобства чтения человеком (как метасокращение).

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #908693 писал(а):

Как "синтаксический сахар" - то есть, его можно было бы не писать, а текстуально заменить тем, что он обозначает. Грубо говоря, это метасимвол, который после компиляции разворачивается в формулу, которая ему приписана.

А. Ну если так, то Ваш вариант 2 с определением - это моя теория 1, просто пишем мы утверждения не так, как они на самом деле выглядят.

[Munin]

_hum_ в сообщении #908691 писал(а):

О да, эти толстенные гроссбуки, с кучей символов и минимумом картинок, да и еще по такой ломающей голову обычному человеку теме.

1. Не надо читать быстро. Учебник - это не детектив, где страницы глотают, потому что они все - всего лишь прелюдия к объявлению преступника в самом конце. В учебнике - по своему отдельному преступлению и преступнику в каждом параграфе.
2. Рисовать картинки надо самому. Вообще, читать учебник надо с ручкой и бумагой. Всё, что сжато - расписывать. Всё, что непонятно - выписывать и разбирать подробно.

И если этим (и нескольким ещё похожим) рецептам следовать, то всё будет, как говорит Xaositect: всем всё по силам. Дорогу осилит идущий.

-- 17.09.2014 18:13:05 --

Голову надо ломать обстоятельно и не спеша.
:-)

[Anton_Peplov]

Xaositect в сообщении #908289 писал(а):

Вот была у Черча теория не для вычислимости, а для логики. В ней он доказал какие-то утверждения. Теория оказалась противоречивой, он некоторые конструкции из нее убрал, противоречие пропало, но многие утверждения остались.
А потом он подумал, что в ней интерпретируется арифметика Пеано и то, что получается, можно взять за определение вычислимой конструкции. Взял эту теорию и назвал определимые в ней функции вычислимыми. А утверждения остались.

Очень интересно. Где об этом можно почитать?
В смысле - об истории вопроса. Где почитать про логику и теорию алгоритмов, я знаю, да и кое-что уже худо-бедно почитал.