Разложение определителя по любой строке (столбцу)

[iwndr]

Здесь приведено доказательство теоремы о разложении определителя по любой строке. Однако есть один непонятный для меня момент:

$\widetilde{\Delta_n}=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i j} \overline{M_{j}^{i}}=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i j} \left ( \sum_{k<j} (-1)^{1+k} a_{1k} \overline{M_{j k}^{i 1}} + \sum_{k>j} (-1)^{k} a_{1k} \overline{M_{j k}^{i 1}} \right )$

Почему в скобках стоит сумма двух сумм? И почему во второй сумме стоит $(-1)^k$? Мне понятно, что минор $\overline{M^{i}_{j}}$ порядка $n-1$ заменяют по формуле

$\Delta=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{i 1} \overline{M_{1}^{i}}$

изначально предполагая её справедливость для этого порядка. Я также понимаю, что выражая всё через элементы основной матрицы $(a_{i j})$, приходится в итерациях избегать случай $k=j$ (т.к. $j$-строку убрали и, соответственно, надо "проскочить" через несуществующий элемент $a_{1 j}$). Но ведь для этого достаточно написать:
$\sum_{k \neq j} (-1)^{1+k} a_{1 k} \overline{M}^{i 1}_{jk}$
Явно я чего-то недопонимаю - буду благодарен за любое разъяснение!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ex-math]

Потому что при разложении $M^i_j$ знак зависит от номера строки в разлагаемом миноре, а не в исходной матрице. Если $k>j$, то выбросив $k$-ю строку из матрицы, что даст Вам $M^{1i}_{kj}$, Вы из минора $M^i_j$ выбрасываете $(k-1)$-ю строку.

[iwndr]

ex-math в сообщении #907200 писал(а):

Потому что при разложении $M^i_j$ знак зависит от номера строки в разлагаемом миноре, а не в исходной матрице. Если $k>j$, то выбросив $k$-ю строку из матрицы, что даст Вам $M^{1i}_{kj}$, Вы из минора $M^i_j$ выбрасываете $(k-1)$-ю строку.

Спасибо!