Нелинейные ДУ

[StaticZero]

Shtorm в сообщении #896609 писал(а):

Возможно составители этих уравнений

(Оффтоп)

Эти уравнения (2 и 3) описывают возможные физические модели движения тела в сплошной среде, где сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела. Во втором дополнительная сила, описываемая функцией $C(t)$, зависит от времени, в третьем - от координаты. В первом - некий маятник, где возвращающая сила пропорциональна квадрату отклонения. Где эти физические модели могут возникнуть я не знаю, это некоторый интерес, насколько всё усложняется в таких процессах при возникновении таких условий.

[Shtorm]

StaticZero в сообщении #896662 писал(а):

Shtorm в сообщении #896346 писал(а):

И мы с Вами оба забыли в правую часть добавить произвольную константу интегрирования

Мы ещё не взяли интеграл...?

В правой части уравнения мы уже взяли неопределённый интеграл, следовательно в правую часть и нужно добавить произвольную константу интегрирования. Конечно, Вы можете сделать оговорку, что пока константу не пишем, а вот когда возьмём в левой части неопределённый интеграл - тогда и напишем общую произвольную константу интегрирования.

StaticZero в сообщении #896662 писал(а):

Переделал, получилось так:

$(\dot{x})^2 = v^2 = f(x)g(x)$

$f(x) = B\exp{\left(-\dfrac{2k}{m}x\right)} = BA^x, A = \exp{\left(-\dfrac{2k}{m}\right)}$

А что такое $B$? Так, давайте разбираться. Вы же раньше уже написали:

StaticZero в сообщении #896042 писал(а):

$\dfrac{df}{dx} = -2\dfrac{k}{m} f$

$\dfrac{df}{f} = -2\dfrac{k}{m} dx$

$\ln |f| = -2\dfrac{k}{m}x $

Значит:

$$f(x)=\exp\left(-2\dfrac{k}{m}x\right)=e^{-ax},\ \ \ a=2\dfrac{k}{m}$$

В любом случае запись $A^{-x}$ здесь выглядит несколько неуместной.

ewert в сообщении #896664 писал(а):

Shtorm в сообщении #896609 писал(а):

если бы вместо $C(t)$ стояло бы $at^n$, где $a$ - константа, то это был бы частный вид уравнения Риккати, имеющее общее аналитическое решение без всяких частных решений

Для некоторых показателей -- да, имеющее. А так -- нет (в смысле в квадратурах не выражается).

Интересно. Возможно, я что-то не так понял. Вот привожу ссылку на решение специального уравнения Риккати

$$\frac{dy}{dx}=ay^2+bx^n$$

решение специального уравнения Риккати

StaticZero в сообщении #896665 писал(а):

Эти уравнения (2 и 3) описывают возможные физические модели движения тела в сплошной среде, где сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела. Во втором дополнительная сила, описываемая функцией $C(t)$, зависит от времени, в третьем - от координаты.

Ну, я думаю, всем читателям форума это было понятно с самого начала. И если, например, открыть книги по теоретической механике, то можно увидеть стандартные уравнения движения материальной точки:
1. Под действием силы, зависящей только от времени:

$$m\ddot{x}=f(t)$$

2. Под действием силы, зависящей только от положения:

$$m\ddot{x}=f(x)$$

ну и ещё ряд случаев, но уравнения движения материальной точки под действием двух сил, одна из которых, зависит от времени, а другая - сила сопротивления среды при высоких скоростях, мне обнаружить не удалось. Понятно, конечно, что такое физическое явление имеет место быть.

StaticZero в сообщении #896665 писал(а):

Где эти физические модели могут возникнуть я не знаю, это некоторый интерес,...

Так Вы сами себе придумали эти уравнения или взяли из какой-то книжки? Просто интересно.

[StaticZero]

Shtorm в сообщении #896774 писал(а):

А что такое $B$? Так, давайте разбираться. Вы же раньше уже написали:

А, да. Зря приписал.

Shtorm в сообщении #896774 писал(а):

В любом случае запись $A^{-x}$ здесь выглядит несколько неуместной.

Ну хорошо. Согласен, не очень красиво.

Shtorm в сообщении #896774 писал(а):

Так Вы сами себе придумали

Сам придумал. "А что будет, если этот член не линейный, а квадратный?", "А что будет, если тут $C = C(t)$?". Решить попытался, но потерпел неудачу.

[ИСН]

Если этот член не линейный, а квадратный, то у Вас при отклонении от равновесия в одну сторону возникает возвращающая сила (как в маятнике, всё ОК), а при отклонении в другую - совсем наоборот. Получится некрасиво.

[Shtorm]

ИСН, тут два варианта: либо я Вас не понял, либо я с Вами не согласен

StaticZero в сообщении #895910 писал(а):

2) $m\dot{v} = C(t) - kv^2$

Тело массой $m$ начинает двигаться под действием силы $C(t)$, которая зависит от времени. На больших скоростях, но меньших чем двести с чем-то метров в секунду (не помню точно), сила сопротивления среды (допустим воздушной атмосферы) приобретает квадратичный закон от скорости, в отличие от линейного на малых скоростях. Результирующая сила, действующая на тело равна $m\dot{v}$.

Думаю, аналогом такого движения является движение радиоуправляемой ракеты (может крылатой ракеты), которая меняет силу тяги при полёте для того, чтобы оператор мог успеть определиться куда дальше её направить.

StaticZero в сообщении #896825 писал(а):

Сам придумал. "А что будет, если этот член не линейный, а квадратный?", "А что будет, если тут $C = C(t)$?". Решить попытался, но потерпел неудачу.

Как вариант, напишите вместо $C(t)$ конкретную функцию. Например $t^{-2}$ для начала. Решите. Потом перейдём к другим функциям с нахождением частных решений.

[ИСН]

Shtorm, не несите рыб в море. Это-то всё само собой ясно. Я про вариант с $x^2$.

[Shtorm]

ИСН, а-а-а! Ну вот, я настолько зациклился на Риккати, что просто Вас не понял.

ИСН в сообщении #896828 писал(а):

Если этот член не линейный, а квадратный, то у Вас при отклонении от равновесия в одну сторону возникает возвращающая сила (как в маятнике, всё ОК), а при отклонении в другую - совсем наоборот. Получится некрасиво.

Тем не менее, что нам говорит учебник по теоретической механике?
Если характеристикой восстанавливающей (возвращающей) силы служит линейная функция

$$F(x)=cx\ \ \ \ \ (c=\operatorname{const}),$$

то восстанавливающая сила называется линейной, а колебания под действием линейной восстанавливающей силы - линейными колебаниями. Во всех остальных случаях восстанавливающая сила и соответствующие колебания называются нелинейными. В математическом отношении нелинейные колебания много сложней линейных колебаний и далее рассматриваться не будут.

Тем не менее, нелинейные колебания есть и почему мы не имеем право рассматривать квадратичные колебания? Просто тогда для корректности уравнение

StaticZero в сообщении #895910 писал(а):

1) $m\ddot{x} = -kx^2$

нужно записать в векторной форме:

$$m\ddot{\vec{x}} = -k\vec{x}|\vec{x}|$$

а затем, взяв проекцию на соответствующую ось, получить в скалярном виде:

$$m\ddot{x} = -k\cdot x\cdot|x|$$

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #897012 писал(а):

нужно записать в векторной форме:

$$m\ddot{\vec{x}} = -k\vec{x}|\vec{x}|$$

Извиняюсь, конечно так надо было:

$$m\ddot{\vec{r}} = -k\vec{r}|\vec{r}|$$

[Oleg Zubelevich]

а вот предположим в уравнении $\dot v=C(t)-v^2,\quad t>0,\quad C(t)\in C[0,+\infty)$
функция $C(t)> 0$ -- $T$-периодична $\Longrightarrow$ существует асимптотически устойчивое $T$-периодичное решение


это то есть еще задача для ТС и поддержания светского трепа