[ТФКП]Изолированные особые точки

[fill240]

Здравствуйте,не могли бы вы помочь найти все изолированные точки и определить их тип.
Найти радиус сходимости ряда тейлора для заданной функции $\ F(z),с центром в точке $z_{0}

$\ F(z)=\frac{(z^2-1)(e^{2z+i}-2)}{\sh^3(3z\pi)}
$z_{0}=2-7i

Со второй частью задачи,все понятно,но с первой есть проблемы.
Проверьте пожалуйста мое решение первой части

Что я уже сделал:
нашел у обратной функции нули(полюсы это нули функции K) $\ K(z)=1/F(z)=\frac{\sh^3(3z\pi)}{(z^2-1)(e^{2z+i}-2)}

Как искал полюсы:
$\ \sh^3(3z\pi)=0
$\ \(3z\pi)=(ik\pi)
$\ z=(ik/3) для любого k

Ищем порядок полюса-тут достаточно когда числитель равен нулу,знаменатель не равен нулю при любом числе $Z$
1)\sh^3(3z\pi)=\sh^3(ik\pi)=-isin^3(k\pi) будет равно 0 при любом $k$
2)(\sh^3(3z\pi)')=3\sh^2(3z\pi)3\pi \ch(3z\pi)=-3\sin^2(k\pi)3\pi\cos(k\pi) тут видно,что $\sin(k\pi)=0$ для любого $k$
3)(\sh^3(3z\pi)'')=(9\pi \sh^2(3z\pi)\ch(3z\pi))'=(\frac{9\pi}{4} \ch(9z\pi)-\ch(3z\pi))'=\frac{9\pi}{4}(-3\pi\sh(3z\pi)+9\pi\sh(9z\pi)) =\frac{9\pi}{4}(-3i\pi\sin(3k\pi)+9i\pi\sin(3k\pi)) где $\sin(\pi k)=0$ для любого $k$
4)Берем еще раз производную
$\frac{9\pi}{4}(-3\pi\ch(3z\pi)+\ch(9z\pi)81(\pi)^2)$

тут
$\ch(ik\pi)=\cos(k\pi)$ не равен 0 для любого $k$
Т.Е является полюсом 3го порядка

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Исправьте формулы ($\sin, \pi$).
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.

2. Приведите свои попытки решения задачи и объясните, что конкретно вызывает затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[cool.phenon]

Мне кажется, что это еще не все. Если какой-то из нулей числителя совпадает с нулём знаменателя -- такой случай не рассмотрен.

[fill240]

cool.phenon,
Возможно,я тоже так думал,но я в лоб не вижу где он может совпасть

[ewert]

fill240 в сообщении #895899 писал(а):

я в лоб не вижу где он может совпасть

нигде, но и условие странное. Наверняка там очипятка и в числителе подразумевалось $z^2+1$ вместо $z^2-1$. Иначе совершенно непонятно, к чему все эти заросли.

[fill240]

Хорошо,я завтра прорешаю и с $z^2+1$,но у нас в задачнике именно со знаком минус.

Очень вероятно,что вы правы,так как я уже 3 раза натыкался на опечатки в своем варианте

-- 13.08.2014, 22:27 --

А вообще ход решения правильный?

[ewert]

fill240 в сообщении #895929 писал(а):

А вообще ход решения правильный?

Я не вчитывался, но вроде правильный. Но и откровенно избыточный. Более чем достаточно того, что у синуса самого по себе все корни простые -- и, следовательно, у его куба трёхкратные.

(это, естественно, без учёта возможного совпадения с числителем)

[fill240]

Мне товарищ говорит,что я допустил ошибку,якобы что тут надо дифференцировать всю функцию $K$,а я дифференцировал только числитель.

Но я сделал по алгоритму взятому из похожей задаче в Краснове(ТФКП,стр82(77),Пример10),там ход решения был описан так
$k(z)=1/f(z)=\frac{2e^{z-1}-z^{2}-1}{\sin(z\pi)}$

Тут точка z=1 будет нулем 3го порядка для числителя(обозначу за w)
$w(1)=0,w'(1)=0,w''(1)=0$,$w'''(1) $ не равна 0


Потом эта точка проверяется для знаменателя(обозначу за t)
$t(1)=0$,$t'(1)$ не равно 0

Потом вычитается 3-1=2 .

[ewert]

fill240 в сообщении #895955 писал(а):

Мне товарищ говорит,что я допустил ошибку,якобы что тут надо дифференцировать всю функцию $K$,

Товаристч некомпетентен.

[fill240]

Тут действительно надо дифференцировать функцию $K$
Но есть проблема,конкретно в этом примере это очень трудоемко.

Решение этого примера-разложение $\sh(z)$,в ряд лорана,выделение коэффицентов $(Z-Z_0)^n$

т.е все должно получиться так:

$\frac{F}{((Z-Z_0)^n)},где n-покажет порядок полюса
Где F-функция не равная нулю


Задача принята.Это Чудесенко,вариант 9

[Otta]

fill240
Это очень страшно, честно говоря. )) А эквивалентностям Вас не учили?

[fill240]

Я немного не понимаю о чем речь идет.
Если эквивалентно бесконечно малые(Пределы),то учили,два года назад,но я не вижу где это можно применить здесь.

[Otta]

Хорошо, во-первых, знать, как выглядит определение полюса (нуля) порядка $n$ в терминах эквивалентностей, а во-вторых, уметь им пользоваться.

[fill240]

т.е предел стремящийся к особой точке,для функции $1/K$?,где $K$-это исходная функция
Знаю,что порядок полюса можно определить по разложению в Лорана(как я и описал выше).
Либо дифференцировать обратную функцию.


Расскажите, пожалуйста