Ошибка у Бурбаки в книге Теория множеств

[Sashamandra]

В Сводке результатов, §4 (39) Бурбаки утверждает

$$E\backslash \mathop \cup \limits_{i \in J} {X_i} = \mathop \cap \limits_{i \in J} (E\backslash {X_i})$$

без дополнительного условия

$$J \ne \emptyset $$

Однако это неверно. Из

$$(\forall i \in J)x \in E\backslash {X_i}$$

не следует

$$x \in E$$

Из (39) Бурбаки выводит ошибочное утверждение (40)

$$\mathop \cap \limits_{i \in \emptyset } {X_i} = E$$

На которое он ссылается при определении топологического пространства в книге Общая топология. Основные структуры.

Я не математик, поэтому не могу понять, как существование таких ошибок можно объяснить у Бурбаки.

Кстати. Утверждение

$$E\backslash \mathop \cup \limits_{i \in I} {X_i} = \mathop \cap \limits_{i \in I} (E\backslash {X_i})$$

справедливо без требования условия

$$(\forall i \in I){X_i} \subseteq E$$

которое он принимает в начале параграфа. Достаточно одного условия

$$I \ne \emptyset $$

[Nemiroff]

Sashamandra в сообщении #894145 писал(а):

Я не математик, поэтому не могу понять, как существование таких ошибок можно объяснить у Бурбаки.

Вот и не лезьте. Нет там ошибок. По крайней мере, не здесь. Пересечение пустого семейства подмножеств множества совпадает с самим множеством. По определению.

[Sashamandra]

Nemiroff
Будьте любезны, сообщите пожалуйста, на какой странице Бурбаки дает это определение. В тексте у Бурбаки я вижу "доказательство" (40) из (39). А формула (40) тоже определение?
И кстати, почему мне нельзя "лезть"? Звучит как-то дико.

[Nemiroff]

Sashamandra в сообщении #894147 писал(а):

Будьте любезны, сообщите пожалуйста, на какой странице Бурбаки делает это определение. В тексте у Бурбаки я вижу доказательство (40) из (39).

Ну на предыдущей (относительно формулы (40)) странице же написано: "каково бы ни было $i\in J,\,\, x\in X_i$.

Sashamandra в сообщении #894147 писал(а):

И кстати, почему мне нельзя "лезть"?

"Я не математик, но у вас тут ошибка, я не доктор, но вы меня неправильно лечите, я не управляющий, но знаю, как надо..." Потому что.

[Sashamandra]

Nemiroff в сообщении #894148 писал(а):

Ну на предыдущей (относительно формулы (40)) странице же написано: "каково бы ни было $i\in J,\,\, x\in X_i$.

Это общее определение пересечения семейства множеств у Бурбаки. А вы говорили о другом определении.

Nemiroff в сообщении #894146 писал(а):

Пересечение пустого семейства подмножеств множества совпадает с самим множеством. По определению.

Так вы ошиблись? Нет такого определения для пустого семейства множеств у Бурбаки?

-- Пт авг 08, 2014 06:37:29 --

Nemiroff в сообщении #894148 писал(а):

Я не математик, но у вас тут ошибка

По профессии я не математик. Не имею удовольствия общаться с математиками, не знаю их образ мыслей. Но это не значит, что я не знаю математику. Поэтому я предполагал, что всем математикам известна эта ошибка у Бурбаки, но просто из уважения к нему об этом не говорят. Оказывается, что и некоторым математикам-профессионалам она неизвестна.

[Nemiroff]

Я не говорил о "другом определении". Вот это

Nemiroff в сообщении #894146 писал(а):

Пересечение пустого семейства подмножеств множества совпадает с самим множеством.

есть прямое следствие "каковых бы ни было... ".

Sashamandra в сообщении #894149 писал(а):

По профессии я не математик. Не имею удовольствия общаться с математиками, не знаю их образ мыслей. Но это не значит, что я не знаю математику. Поэтому я предполагал, что всем математикам известна эта ошибка у Бурбаки, но просто из уважения к нему об этом не говорят. Оказывается, что и математикам-профессионалам она неизвестна.

Душераздирающая история.

[Sashamandra]

Nemiroff в сообщении #894150 писал(а):

прямое следствие

А если вы говорите о доказательстве, то смотрите мое первое сообщение. Из "каковы бы ни были" не следует $x \in E$, если не допустить $J \ne \emptyset $.
Может, вы не знакомы с математической логикой?

-- Пт авг 08, 2014 07:27:30 --

Nemiroff в сообщении #894150 писал(а):

Я не говорил о "другом определении".

Может, вы и не говорили, но вы его здесь написали. Каждый может в этом убедиться.

[Red_Herring]

Sashamandra в сообщении #894149 писал(а):

Но это не значит, что я не знаю математику. Поэтому я предполагал, что всем математикам известна эта ошибка у Бурбаки, но просто из уважения к нему об этом не говорят. Оказывается, что и некоторым математикам-профессионалам она неизвестна.

Конкретно Вы не знаете не только математики, но и логики. Если Вы считаете что $\bigcap_{j\in \emptyset} X_j$ меньше чем "всеобъемлющее множество" $E$, то предъявите какой-нибудь элемент из $x\in E$ и какое-нибудь множество $X_j$, $j\in \emptyset$ (вот тут-то у Вас будет и загвоздка), т.ч. $x\notin X_j$.

[Sashamandra]

Red_Herring в сообщении #894171 писал(а):

Если Вы считаете что $\bigcap_{j\in \emptyset} X_j$ меньше чем "всеобъемлющее множество" $E$,

Нет, я так не считаю.
А обязательно нужно начинать с оценки профессиональных способностей?

[Red_Herring]

Sashamandra в сообщении #894194 писал(а):

Red_Herring в сообщении #894171 писал(а):

Если Вы считаете что $\bigcap_{j\in \emptyset} X_j$ меньше чем "всеобъемлющее множество" $E$,

Нет, я так не считаю.
А обязательно нужно начинать с оценки профессиональных способностей?

Тогда в чем ошибка у Бурбаки? Я отнюдь не оцениваю Ваши способности, а указываю на явно неверное утверждение.

[Sashamandra]

Ошибка у меня. Я считал, что Бурбаки определяет множество $\mathop \cap \limits_{i \in I} {X_i}$ следующим образом

$$x \in \mathop \cap \limits_{i \in I} {X_i} \equiv (\forall i \in I)x \in {X_i}$$

На самом же деле он определяет его следующим образом

$$x \in \mathop \cap \limits_{i \in I} {X_i} \equiv x \in E \wedge (\forall i \in I)x \in {X_i}$$

[Red_Herring]

ОК, логику Вы знаете. В заключение: если не использовать всеобъемлющего множества, то определить такое пересечении в рамках обычной теории множеств невозможно

[Sashamandra]

Операция $ \cup $ является первичной операцией, существование которой обеспечивают аксиомы теории множеств. В противоположность этому операция $ \cap $ вводится в теорию по определению.

$$\mathop \cap \limits_{i \in I} {X_i} = \{ x \in \mathop \cup \limits_{i \in I} {X_i}|(\forall i \in I)x \in {X_i}\} $$

Естественно, что это определение пересечения отличается от определения Бурбаки в случае $I = \emptyset $.

[Red_Herring]

Мам Ваше определение кажется естественным, мне—нет. Ср. с определением $\inf$, $\sup$ на $\mathbb{R}$

[Sashamandra]

Red_Herring в сообщении #894499 писал(а):

Вам Ваше определение кажется естественным

Мне оно кажется единственным.

А с точки зрения математиков, оно является традиционным: смотрите Колмогоров, Драгалин. Математическая логика. Дополнительные главы (1984), стр. 26.