Произвольный четырехугольник

[fronnya]

Нужно доказать, что если $A, B, C, D$- середины последовательных сторон четырехугольника, то $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=0$. Все мои попытки приводили меня к тождеству (математической тавтологии). Может, натолкнете на мысль?

[Aritaborian]

А вы и должны были прийти к тождеству... Приведите для начала какую-нибудь из ваших попыток.

[fronnya]

Aritaborian в сообщении #888955 писал(а):

А вы и должны были прийти к тождеству... Приведите для начала какую-нибудь из ваших попыток.

Обозначил вершины четырехугольника $K, L, M, N$ так, что $A$- середина $KL$, $B$- середина $LM$, $C$- середина $MN$, $D$- середина $NK$.
Написал такие вещи:

$$\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{NK}+\overrightarrow{ML})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA},$$

$$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{LM})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$$

Дальше, если выразить из каждого из этих выражений $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ соответственно, то получается, что $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$, это, конечно, правильно, но совершенно не то, что нужно.

[Nemiroff]

А если бы получалось $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}$, было бы лучше?

[Munin]

fronnya в сообщении #888959 писал(а):

Написал такие вещи

Напишите ещё побольше таких вещей.

[fronnya]

Munin в сообщении #888966 писал(а):

fronnya в сообщении #888959 писал(а):

Написал такие вещи

Напишите ещё побольше таких вещей.

И что будет?

-- 20.07.2014, 19:48 --

Nemiroff в сообщении #888963 писал(а):

А если бы получалось $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}$, было бы лучше?

Это что вообще?

[ИСН]

Да ну их, эти векторы. Смотрите, $ABCD$ - это тоже четырёхугольник (другой); какое его геометрическое свойство равносильно этому векторному тождеству?

[Nemiroff]

fronnya в сообщении #888990 писал(а):

Это что вообще?

Что "это что"?
Вы получили какое-то там тождество. Говорите, что вам легче не стало.
Я вам предлагаю другое тождество. Оно верное? Получить можете? Написав "побольше всяких вещей".

fronnya в сообщении #888990 писал(а):

И что будет?

Счастье для всех даром.

[fronnya]

Nemiroff в сообщении #888993 писал(а):

Оно верное?

Нет.

-- 21.07.2014, 00:02 --

ИСН в сообщении #888992 писал(а):

Да ну их, эти векторы. Смотрите, $ABCD$ - это тоже четырёхугольник (другой); какое его геометрическое свойство равносильно этому векторному тождеству?

Противолежащие стороны равны?

[bot]

fronnya в сообщении #889058 писал(а):

Противолежащие стороны равны?

Вы длины имеете в виду? Не только.

-- Пн июл 21, 2014 13:07:25 --

fronnya в сообщении #889058 писал(а):

Нет.

Почему?

[ewert]

fronnya в сообщении #889058 писал(а):

Противолежащие стороны равны?

Да ну их, эти стороны. Вспомните лучше, что у треугольников бывают средние линии.

[Munin]

fronnya
Проблема этой задачи в том, что она настолько простая, что у неё слишком много способов решения. И все начинают советовать свой собственный. На данный момент: Nemiroff, я, ИСН-bot, ewert - наталкивают вас на четыре разных решения :-)

Попробуйте сами подумать ещё. Придумаете пусть пятое решение, но главное - до конца. Это легко, будьте уверены.

[fronnya]

Munin писал(а):

Попробуйте сами подумать ещё.

Хорошо.

-- 21.07.2014, 12:38 --

Munin писал(а):

На данный момент: Nemiroff, я, ИСН-bot, ewert - наталкивают вас на четыре разных решения :-)

Лучше я тогда и правда сам.

[Sinoid]

fronnya в сообщении #888954 писал(а):

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=0$

Чему-чкму равна сумма векторов? Кстати, когда я писал здесь векторы нежирным шрифтом, весь сайт обращал на это внимание.

[Aritaborian]

Sinoid в сообщении #889188 писал(а):

когда я писал здесь векторы нежирным шрифтом

Полужирным нужно писать, когда обозначаете вектор одной буквой.

Sinoid в сообщении #889188 писал(а):

Чему-чкму равна сумма векторов?

А вот это верно подмечено ;-) И никто ведь до сих пор не обратил внимания.