Пустое множество не существует?

[jurij]

Нетрудно заметить, что пустое множество, как множество, не содержащее ни одного элемента, не попадает под определение множества как такового. Например, Георг Кантор определяет множество так:

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).

То есть, основополагающим признаком множества являются его содержимое – «соединение … определённых хорошо различимых предметов..». Пустое множество не содержит никаких элементов, а потому, как предмет этого определения, не существует. Или я что-то не так понимаю? Если кто знает, поясните.

[kp9r4d]

Во времена Кантора, это, быть может, было определением. По современным меркам это, максимум что - интуитивное пояснение (мотивация) определения. То, что пустое множество существует - аксиома.

[arseniiv]

jurij, для работы с множествами сейчас Кантор не нужен. (Кстати, сам он пустым множеством вряд ли брезговал.) Разработаны замечательные аксиоматические теории множеств, и во всех них пустое множество существует. (Иногда существование — это всё же не аксиома, но это не важно, потому что всегда теорема.)

[jurij]

kp9r4d в сообщении #887044 писал(а):

То, что пустое множество существует - аксиома.

arseniiv в сообщении #887048 писал(а):

Разработаны замечательные аксиоматические теории множеств, и во всех них пустое множество существует.

Ребята, закрыть недостаток определения аксиомой - святое дело. Кстати, а может вам привести определение (множества) не менее уважаемого в кругах математиков Бертрана Рассела? В том определении тоже нелады с пустым множеством.Может что по конкретнее предложите?

[kp9r4d]

Мне кажется у вас не выработалась в достаточной мере математическая культура и вам не очень понятно, что такое "строгое определение" и "абсолютное доказательство". Может вам не стоит лезть пока ещё в дебри и основания, а пройти, для начала, какой-нибудь общематематический курс? (Я недавно просмотрел, например, курс Савватеева, лично мне очень понравился)

[Aritaborian]

jurij, вы пытаетесь рассуждать в рамах so-called наивной теории множеств. Но ей уже никто всерьёз не пользуется; пройденный этап. Есть ZFC и другие. Почитайте о них. И по-хорошему, вы должны задавать свой вопрос так: «Я считаю, что данная система аксиом противоречива, ибо... Подскажите мне, где я мог ошибиться.» Вместо слова «противоречива» или вместе с ним может ещё быть употреблено слово «неполна».
А иначе это всё переливание из пустого в порожнее.

[arseniiv]

jurij в сообщении #887053 писал(а):

Кстати, а может вам привести определение (множества) не менее уважаемого в кругах математиков Бертрана Рассела?

Приведите, раз вам хочется. Только не думаете же вы, что геометрию проще и полезнее изучать по Евклиду, а логику — по Аристотелю?

jurij в сообщении #887053 писал(а):

Ребята, закрыть недостаток определения аксиомой - святое дело.

На ноль тоже будут гонения? И расскажите, чем вам так не нравится пустое множество, чтобы его существование не постулировать. И, кстати, повторю, не обязательно существование пустого множества — это именно аксиома. Есть варианты ZF, где такой аксиомы нет, и существование $\varnothing$ выводится с помощью аксиомы бесконечности. Что, её тоже отменим? А давайте вообще арифметикой Пеано (да, и без нуля) обойдёмся!

[jurij]

kp9r4d в сообщении #887055 писал(а):

Мне кажется у вас не выработалась в достаточной мере математическая культура...

Aritaborian в сообщении #887056 писал(а):

вы пытаетесь рассуждать в рамах so-called наивной теории множеств. Но ей уже никто всерьёз не пользуется; пройденный этап. Есть ZFC и другие.

Как-то ремонтировал у нас в квартире водопровод сантехник (я и сам этим ремеслом неплохо владею, но меня дома не было). Собрал сгон, включил воду. Немного подкапывает. Я ему замечание. А он мне, что мол затянет. Не затянет, дурья твоя голова потому, что ты собрал сгон на ФУМ (фторопластовый уплотняющий материал), а не на лен. Лен затянет, ФУМ никогда.

Он мне начинает трындеть, что на лен сейчас резьбы никто не собирает, только на ФУМ. Да бога ради, собирай на ФУМ, но чтобы не протекало.

Да, о чем это я? Ребята, пользуйтесь чем угодно (ZFC и другие....). Но логика не должна протекать. И еще, это не аргумент "Мне кажется у вас не выработалась в достаточной мере математическая культура...". Если определение логически дырявое, то вы уподобляетесь сантехнику, который пытается доказать мне, с позиции современности мой водопровод не протекает.

У вас тоже такая же рекламная хрень на странице?

[Otta]

(Оффтоп)

jurij в сообщении #887070 писал(а):

Как-то ремонтировал у нас в квартире водопровод сантехник (я и сам этим ремеслом неплохо владею, но меня дома не было). Собрал сгон, включил воду. Немного подкапывает. Я ему замечание.

Вы забыли. Вас нету дома.

[Aritaborian]

Да у вас не только математической культуры не хватает. Обычной тоже. Ну да ладно.
Зачем вы вертите Георга Кантора в гробу? Вам сказали, что приведённое вами определение — история математики.

[jurij]

Otta в сообщении #887072 писал(а):

Вы забыли. Вас нету дома.

Да пришел я на включение воды. Жене он (сантехник) точно бы "втер", что все в порядке - подставь тазик и выливай дав раза в сутки. И плату двойную за новейший уплотнительный материал (ФУМ) взял бы.

Aritaborian в сообщении #887075 писал(а):

Да у вас не только математической культуры не хватает. Обычной тоже. Ну да ладно.
Зачем вы вертите Георга Кантора в гробу? Вам сказали, что приведённое вами определение — история математики.

Опять не то. Ребята, я не Кантора кантую, а вас. Кантор свое слово сказал, а лучше, судя по вашей реакции, не сказал никто.

[arseniiv]

jurij в сообщении #887070 писал(а):

Если определение логически дырявое

то вы должны это доказать. Начинайте! (Только сначала предупредите, про какое именно определение будете говорить.)

arseniiv в сообщении #887060 писал(а):

И, кстати, повторю, не обязательно существование пустого множества — это именно аксиома. Есть варианты ZF, где такой аксиомы нет, и существование $\varnothing$ выводится с помощью аксиомы бесконечности. Что, её тоже отменим?

На всякий случай упомяну, что определение константы, если выводимы существование и единственность такого объекта — консервативное расширение теории. Единственность пустого множества гарантируется аксиомой объёмности (можно, конечно, и её выкинуть, но это вообще глупо. Конечные множества ещё пригодны, а вот множества, которые нельзя сравнить…).

jurij в сообщении #887082 писал(а):

Ребята, я не Кантора кантую, а вас. Кантор свое слово сказал, а лучше, судя по вашей реакции, не сказал никто.

Давайте без болтологии. Если вы можете построить полезную альтернативную теорию множеств — где ваша статья в рецензируемом журнале? Или поумерим претензии и разберёмся с вашим недопониманием. Не разбираться в чём-то — не зазорно, а вот кичиться этим не стоит, потому что тогда тему модераторы закроют.

[jurij]

arseniiv в сообщении #887085 писал(а):

Не разбираться в чём-то — не зазорно,...

Согласен. Предлагаю модифицированное определение множества, которое дает Кантор (или Рассел), которое включает в себя пустое множество без каких либо логических натяжек.

Множество, это способ соединения в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).


То есть, множество, это не, сколько элементы, содержащиеся в нем, а оболочка, образованная признаками, которые эти элементы объединяют в целое. И, в зависимости от того, какими признаками она образована, множество может содержать конечное или бесконечное число элементов, либо не содержать ни одного (пустое множество).

"где ваша статья в рецензируемом журнале?" Народ, и в частности Вы, сейчас достаточно критически настроены. Потому Ваши замечания по данному определению будут стоить трех рецензий в любом рецензируемом журнале.

Эта рекламная хрень и у Вас на странице?

[Aritaborian]

Да нет вообще никаких определений множества. Потому и улучшать тут нечего. Множество — основное, неопределяемое понятие математики. А вот способы задания множества — есть. Какие из них вам знакомы? Перечислите, пожалуйста.

jurij в сообщении #887095 писал(а):

Эта рекламная хрень и у Вас на странице?

Какая?

[warlock66613]

jurij в сообщении #887095 писал(а):

Множество, это способ соединения в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).

Теперь, чтобы это стало определением, давайте определения для терминов "способ", "соединение", "целое", "хорошо различимость", "наше", "созерцание" и "мышление".