норма функционала

[Antichny]

$$f:L_2[0,2\pi]\to R, f(x)=\int_{0}^{2\pi}\sin t \cdot x(t) dt$$ $$|f(x)|=|\int_{0}^{2\pi}\sin t\cdot x(t) dt|\le (\int_{0}^{2\pi}|\sin t|^2 dt)^{1/2} (\int_{0}^{2\pi}|x(t)|^2 dt)^{1/2}=\sqrt\pi \Vert x \Vert$$

отсюда следует, что

$$ \Vert x \Vert\le\sqrt\pi$$

с другой стороны:

$$\Vert f \Vert \ge \frac{|f(x)|}{\Vert x \Vert}$$

как подобрать промежуточное значение $x_0$ и как оценить это выражение, норму х нужно брать по $L_2$ или по $R$?

[Slow]

А $x$ откуда у вас?

[Antichny]

Slow, из $L_2$

[Dan B-Yallay]

Antichny в сообщении #886302 писал(а):

из $L_2$

Ну и как вы сможете найти норму по $\mathbb R$ у элемента из $L_2$?

-- Чт июл 10, 2014 12:13:50 --

Antichny в сообщении #886293 писал(а):

отсюда следует, что

$$ \Vert x \Vert\le\sqrt\pi$$

Может быть все-таки

$$\|f\| \le\sqrt\pi$$

?

[Antichny]

Dan B-Yallay, вы правы, я напутал когда печатал там конечно же $\Vert f \Vert \le\pi$ , как найти функцию, чтобы получилось равенство?

[Dan B-Yallay]

Ваш функционал $f$ вам ничего не напоминает?

[Antichny]

если взять $x_0=\sin t$ получим
$\Vert x \Vert \ge \frac{|\int_{0}^{2\pi}\sin^2tdt|}{\max|\sin t|}=\pi$

[Dan B-Yallay]

Antichny в сообщении #886321 писал(а):

Dan B-Yallay, я пробовал брать за $x_0$ sin t , но получилось $ \pi$ вместо корня..

Но разве у $\sin t$ норма в $L_2 [0, 2\pi]$ равна 1?
Определение нормы приведите.

[Antichny]

$|f(x)|\le M \Vert x \Vert $ наименьшая M - норма ф-ла.

[Dan B-Yallay]

Antichny Так дело не пойдет. Скрывать от нас информацию, что норма икса должна быть единица... Нехорошо.

[Otta]

Dan B-Yallay
:) Но это действительно одно из равносильных определений.

[Dan B-Yallay]

Otta
Ну да вообще-то... тогда чего дальше тянуть?
Как еще подсказать, чтоб не тюкнули за полное решение.

[Antichny]

в общем, у меня не получается вторая оценка, как её добиться?

[Otta]

Вы там в процессе каким неравенством пользуетесь?

[Antichny]

я для себя решаю, ну просто не смог решить и на форум зашел..