Парадокс Близнецов

[Munin]

IgorAl в сообщении #877862 писал(а):

Но вот наблюдатели внутри ракет могут не знать о том в какую сторону направлено их ускорение по сравнению с направлением ускорения в прошлый раз.

Вообще, наплевать, что там наблюдатели видят. Важно состояние физической системы в целом.

Если хотите, это связано не только с тем, что наблюдатели видят, но и с тем, что они помнят.

По сути, всё связано с тем, какую именно линию выписывают часы (с наблюдателями) в пространстве-времени - на пространственно-временной диаграмме.

IgorAl в сообщении #877862 писал(а):

Уважаемый DinaM!

Его зовут DimaM. Не делайте таких ошибок - здесь за них наказывают.

[IgorAl]

Вы совершенно правы, уважаемый Munin!
Проблема в том, что выписав пространственно-временные диаграммы мы получим различные результаты для различных систем отсчета при сравнении часов двух путешественников. Их собственные диаграммы будут идентичны. В системе в которой один из них все время двигался, а другой - некоторое время покоился - у второго пройдет больше времени, чем у первого. Если же мы возьмем инерциальную систему в которой, наоборот, первый некоторое время покоился, а второй - все время двигался, то в ней у второго времени пройдет меньше, чем у первого. Поскольку все часы можно собрать в одном месте, то выбрать нужно только один вариант.
Спасибо за отзыв!

[Nemiroff]

IgorAl в сообщении #878102 писал(а):

Поскольку все часы можно собрать в одном месте, то выбрать нужно только один вариант.

Собиралка сломается.

[Munin]

IgorAl в сообщении #878102 писал(а):

Проблема в том, что выписав пространственно-временные диаграммы мы получим различные результаты для различных систем отсчета при сравнении часов двух путешественников. Их собственные диаграммы будут идентичны.

Вы выпишите, а потом говорите.

Потому что будет всё ровно наоборот. Для разных систем отсчёта диаграммы будут одинаковы (с точностью до поворота). А для разных путешественников - различны.

[IgorAl]

Уважаемый Someone!
Если Вам жалко путешественников, то можно вместо них поставить приборы, фиксирующие физические процессы, происходящие в этих системах, время, и записывающие все. Это не меняет сути дела. Записи этих приборов в двух ракетах будут совершенно одинаковы - есть ускорение А на отрезке времени t1, нет ускорения на отрезке времени t2 и т.д. При этом время же на часах этих системах будет различаться в момент их встречи. В системе в которой один из них все время двигался, а другой - некоторое время покоился - у второго пройдет больше времени, чем у первого. Если же мы возьмем инерциальную систему в которой, наоборот, первый некоторое время покоился, а второй - все время двигался, то в ней у второго времени пройдет меньше, чем у первого. Поскольку все часы можно собрать в одном месте, то выбрать нужно только один вариант.
Что же касается Ваших замечаний по поводу того, что разница происходит из-за того, что два последовательных ускорения действуют в одной системе в одну и ту же сторону, а в другой - в разные - то это ничего не объясняет.
Во-первых, приборы могут не зафиксировать изменения направления ускорения (например, установлены на крутящихся с различной угловой скоростью столах на различных расстояниях от центра вращения; можно подобрать угловую скорость и радиус так, что центростремительное ускорение будет одинаковым, а количество оборотов - разное)
Во-вторых, выше я написал, что можно взять другую инерциальную систему отсчета, в которой мы получим противоположный результат (зная все направления ускорений).
А в третьих, мне просто интересно, как Вы используете направление ускорения для определения изменения течения (замедления или ускорения) времени в системах ракет. Ускорение в этих системах подобно гравитационной силе. Утром гравитационная сила на нас действует в одном направлении, а вечером - в другом (из-за вращения Земли и если мы на экваторе). Как вы хотите учесть изменение этих направлений? Для гравитационного замедления или еще как-то? Если сможете - объясните.
Спасибо за отзыв.

[svv]

У нас есть два поезда, $A$ и $B$, которые в начале опыта неподвижны относительно Земли.

Поезд $A$ в течение времени $t$ разгоняется с ускорением $a$, затем в течение времени $t$ с таким же по модулю ускорением тормозит до полной остановки. После этого два проводника выбрасывают безбилетного пассажира из вагона. Он получает, возможно, легкий ушиб, и только.

Поезд $B$ в течение времени $t$ разгоняется с ускорением $a$, затем в течение времени $t$ ещё больше разгоняется с тем же ускорением. Двое дюжих проводников вышвыривают безбилетчика из вагона на скорости 130 км/ч. Что с ним будет? Да ничего особенного, потому что второй поезд двигался с теми же ускорениями, что и первый. Верно?

IgorAl в сообщении #878120 писал(а):

приборы могут не зафиксировать изменения направления ускорения (например, установлены на крутящихся с различной угловой скоростью столах на различных расстояниях от центра вращения; можно подобрать угловую скорость и радиус так, что центростремительное ускорение будет одинаковым, а количество оборотов - разное)

Это что-то вроде такого. Вам говорят: мы можем измерить ускорение. Вы отвечаете: но ведь мы можем и не измерить!

[IgorAl]

Уважаемый svv!
Даже в Вашем примере с проводниками и двумя пассажирами никакой разницы с пассажирами не будет. Чтобы разница возникла - нужно ввести (кроме поездов) еще и землю. Посмотрите внимательно. В моем же примере ускорение измеряется. Можно измерять любые величины, по Вашему выбору. Как направление (а не величина) ускорения будет менять течение времени в системах космонавтов относительно земной системы? Или скажите (раз все так просто) чьи часы покажут большее время при встрече космонавтов на земле? Мне много советов дают на форуме о построении пространственно-временных диаграмм. Возможно, сами советчики не находят время, чтобы их построить. Достаточно простого ответа на вопрос. Чьи часы покажут большее время при встрече космонавтов на земле: часы А которые все время двигались относительно земли или часы В которые некоторое время покоились? Обычный ответ - А покажут большее время. (Возможно у Вас будет другой). Тогда следующий вопрос. Какие часы покажут большее время: часы А, которые некоторое время покоились относительно инерциальной системы С ? (Выберем ее так, что на отрезке времени, на котором часы А двигались относительно земли, А часы В покоились, часы А покоились относительно С, а В - двигались. Мы можем выбрать такую систему). Отвечая аналогично предыдущему вопросу, Вы должны ответить - В покажут большее время. (Возможно у Вас будет другой). Вы получите два разных результата (причем взаимоисключающих).
Возможен, наверное, третий ответ. Часы А и В никогда не встретятся и мы не сможем сравнить их показания в одной точке. Однако, этот ответ равносилен тому, что путешественник А никогда не сможет вернуться на землю (путешественник В всегда на нее возвращается - по условию эксперимента). Это не то, чтобы странно, а просто неверно. Можно доказать это (неверность третьего ответа) математически. Можно и экспериментально (возвращались же ракеты с Луны). Спасибо Вам за ответ. Но просьба, подумайте еще раз.

[Munin]

IgorAl
Зачем вы чешете языком, и не рисуете то, что должны нарисовать?

[Someone]

Ладно, IgorAl, кажется, я понял, что Вы имеете в виду. Имеем две ракеты. Обе отправляются из одной точки (с Земли, например). Сначала они обе в течение одного и того же времени $t_1$ ускоряются с одинаковым ускорением. Потом одна из них (обозначим её $A$) продолжает ускоряться с тем же ускорением ещё такое же время, а другая (обозначим её $B$) тормозится с тем же ускорением такое же время. (Кстати, по собственным часам или по часам ИСО Земли? Давайте считать, что по собственным.) В результате первая относительно Земли продолжает двигаться, а вторая останавливается. Вас интересует, какие часы будут показывать бóльшее время — $A$ или $B$. Правильно?

Ответ. На момент окончания ускорения и те, и другие часы будут показывать одно и то же время $2t_1$.
Однако сравнить их между собой или с часами, находящимися на Земле, мы непосредственно не можем, так как все они находятся в разных местах. Для такого сравнения нужно придумать какую-нибудь процедуру, и результат сравнения будет зависеть от того, какую именно процедуру мы придумаем.

Но Вы говорите о том, чтобы вернуть все часы на Землю. Давайте вернём. Каким способом? Результат будет зависеть от того, какой способ возвращения мы придумаем.

Добавление. Расчёт релятивистского равноускоренного движения можно найти здесь: http://dxdy.ru/post521437.html#p521437. Однако там нет расчёта собственного времени ракеты. Хочу подчеркнуть: в этих формулах $t$ — показания часов ИСО Земли, находящихся в том же месте, где находится ракета. Отсчёт собственного времени $t'$ начинаем с момента старта, то есть, $t'=0$ соответствует $t=0$. Я буду ссылаться на номера формул в том сообщении, которое только что упомянул.

Собственное время произвольно движущихся часов вычисляется по формуле

$$t'=\int_0^t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}d\tau\eqno(13)$$

(я продолжу нумерацию формул, чтобы не путаться).
Подставляя выражение для скорости из формулы (8), получим

$$t'=\int_0^t\sqrt{1-\frac{g^2\tau^2}{c^2+g^2\tau^2}}d\tau=\int_0^t\frac{d\tau}{\sqrt{1+\frac{g^2\tau^2}{c^2}}}=\frac cg\ln\left(\frac{gt}c+\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{c^2}}\right).$$

В полученном выражении можно узнать функцию ареасинус (или гиперболический арксинус) $x=\operatorname{arsh}y$ — функцию, обратную функции гиперболический синус $y=\sh x=\frac 12(e^x-e^{-x})$. Поэтому полученный результат можно записать в виде

$$t'=\frac cg\operatorname{arsh}\frac{gt}c,\eqno(14)$$

или в виде

$$t=\frac cg\sh\frac{gt'}c.\eqno(14')$$

Используя функции гиперболический косинус $\ch x=\frac 12(e^x-e^{-x})$ и гиперболический тангенс $\th x=\frac{\sh x}{\ch x}$, а также "основное гиперболическое тождество" $\ch^2x-\sh^2x=1$, мы можем скорость и координату ракеты в ИСО Земли выразить формулами

$$v=c\th\frac{gt'}c\eqno(8t')$$

и

$$x=\frac{c^2}g\left(\ch\frac{gt'}c-1\right).\eqno(9t')$$

Эти формулы, наряду с преобразованиями Лоренца, которые понадобятся, если Вы будете рассматривать участки движения по инерции, можно использовать для расчёта полётов, подобных тем, которые Вы придумываете. Например, для "искпедиций", описанных в начале данного сообщения, получаем следующее.
В конце первого этапа ускорения (продолжительность $t_1$ по собственному времени) обе ракеты будут двигаться со скоростью $\hat v_1=c\th\frac{gt_1}c$ на расстоянии $\hat x_1=\frac{c^2}g\left(\ch\frac{gt_1}c-1\right)$ от Земли (расстояние измеряется в ИСО Земли), а показания часов ИСО Земли в том месте, где находятся ракеты, равно $\hat t_1=\frac cg\sh\frac{gt_1}c$.
К моменту окончания второго этапа первая ракета движется с постоянным ускорением $g$ время $2t_1$, поэтому её скорость равна $\hat v_2=c\th\frac{2gt_1}c$, расстояние — $\hat x_2=\frac{c^2}g\left(\ch\frac{2gt_1}c-1\right)$, а показания часов ИСО Земли — $\hat t_2=\frac cg\sh\frac{2gt_1}c$.
Что касается второй ракеты, то её второй этап симметричен первому, поэтому она покоится в ИСО Земли на расстоянии $2\hat x_1$ от Земли, а часы ИСО Земли показывают $2\hat t_1$.
Если считать, что на первом этапе ракеты ускорялись бок о бок, так что первый этап движения закончили в одном месте и в одно время, то пространственно-временной интервал между окончаниями ими второго этапа равен

$$s^2=c^2(\hat t_2-2\hat t_1)^2-(\hat x_2-2\hat x_1)^2=-16\frac{c^4}{g^2}\sh^4\frac{gt_1}{2c}<0,$$

то есть, является пространственноподобным. Поэтому можно подобрать такую ИСО, в которой ракеты закончат свои манёвры одновременно, в то время как в ИСО Земли вторая ракета заканчивает раньше первой, так как $2\hat t_1<\hat t_2$, поскольку $2\sh x<\sh 2x$ при $x>0$.

[IgorAl]

Уважаемый Someone!
Спасибо за ответ. Отдельное спасибо за формулы.
После двух ускорений системы А и ускорения и торможения системы В их собственные часы показывают одинаковое время. Пусть теперь система А продолжает улетать от Земли без ускорения некоторое время t2 по собственным часам. Система В покоится относительно Земли то же время t2 по собственным часам.
Теперь по поводу процедуры возвращения. Пусть система А начинает равномерно (по ее собственным измерениям) замедлять скорость относительно Земли и пусть понадобиться время t3 (по ее собственным часам), чтобы система А начала сближаться с Землей (не важно с какой скоростью). Пусть система В испытает такое же по величине ускорение в сторону Земли, а затем такое же по величине торможение в течение промежутка времени t3 (в сумме). Все величины измеряются в системе В. Мы можем разбить отрезок времени t3 на два отрезка t3=t4+t5 такие, что скорость системы В относительно Земли будет равна 0 (t4 - время разгона к Земле, t5 - время торможения). Не важно, вернулся космонавт на Землю или нет. На все маневры разгонов, торможения и свободных полетов каждой системе потребовалось одинаковое время по собственным часам. У нас есть система В, покоящаяся относительно Земли и система А, движущаяся к системе В (в сторону Земли). Через какое-то время системы встретятся и мы сможем сравнить время на их часах. Вопрос такой - что увидят космонавты (и земной наблюдатель) встретившись: часы А опережают часы В, время А=В и часы А отстают от В?

[Munin]

IgorAl
Когда вы нарисуете пространственно-временные диаграммы того, о чём рассуждаете?

[Someone]

Извините, IgorAl, но я не нанимался рассчитывать то нагромождение манёвров, которое Вам вздумается сочинить. Я показал, как это всё можно рассчитать. Разбирайтесь и считайте сами. Формула (13) в Вашем распоряжении.

[IgorAl]

Уважаемый Someo!
Извините. Вам и не нужно считать. Я это делал и всегда получал, что часы А движущиеся все время и с большей скоростью относительно Земли будут отставать от часов В, движущихся с меньшей скоростью относительно Земли и покоящихся какое-то время. Это же дает Ваша формула (13) - собственное время (границы интегрирования) у систем А и В - одинаковое, а подинтегральное выражение тем меньше, чем больше скорость. И это полностью соответствует теории относительности. Если бы система В вообще не двигалась относительно Земли, то можно было бы сказать, что система А испытывала ускорения, системы не равноправны, двигалась именно система А и время в ней отстанет после возвращения ее к системе В. Так и делается в обычном Парадоксе Близнецов. В моем примере в каждой системе одинаковое ускорение действует одинаковое время (по часам этих систем). Расчет по формуле (13) даст, что часы А отстанут от часов В. Можно сказать, что так оно и есть раз уж так получилось при нашем расчете. Существует, однако, такая инерциальная система отсчета относительно которой при таком же расчете мы получим обратный результат - часы В отстанут от часов А. Двух разных результатов для одного и того же события в одном месте быть не может.

[Munin]

IgorAl в сообщении #878452 писал(а):

Существует, однако, такая инерциальная система отсчета относительно которой при таком же расчете мы получим обратный результат - часы В отстанут от часов А.

Осталось её указать.

[Nemiroff]

IgorAl в сообщении #878452 писал(а):

Уважаемый Someo!

Да нажмите вы уже на ник! Прям вот на него! Мышкой!
Что за вселенский сговор — чем идиотичнее претензии к физике, тем сильнее беспомощность в форматировании сообщений!