Доказательство тригонометрических тождеств

[iwsyhgia]

Не подскажите в какой книге можно найти доказательство следующих тригонометрических тождеств:
$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$
Заранее благодарю за ответ.

[Ms-dos4]

Сравните действительные и мнимые части выражений $\[{e^{i(\varphi + \psi )}}\]$ и $\[{e^{i\varphi }}{e^{i\psi }}\]$. Действительная даст косинус, мнимая синус.

[iifat]

Напоминаю: гугл знает всё! Я сам часто это забываю. Вот, например.

[Евгений Машеров]

А для кого доказательство? В смысле - что знает тот, кому доказывают? Если уже знает про экспоненту комплексного числа - то доказательство в одну строчку, указанное выше. Если владеет координатным методом - то также приведенное выше через поворот координат. Если школьник средних классов, не знающий ни того, ни другого - чисто геометрическое, которое можно найти в школьных учебниках (желая выпендриться, сошлюсь на Н.Рыбкин, Учебник прямолинейной тригонометрии, М.: Издание магазина ''Сотрудник школ'', 1905. - 170с., но, разумеется, это никак не единственный источник).

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #873050 писал(а):

Если уже знает про экспоненту комплексного числа - то доказательство в одну строчку, указанное выше.

Если он уже знает про комплексную экспоненту, то тем более знает эти теоремы сложения.

[mihailm]

iwsyhgia в сообщении #873015 писал(а):

Не подскажите в какой книге можно найти доказательство...

Это алгебра 9-й класс, любой учебник, например Алимов

[Евгений Машеров]

ewert в сообщении #873055 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #873050 писал(а):

Если уже знает про экспоненту комплексного числа - то доказательство в одну строчку, указанное выше.

Если он уже знает про комплексную экспоненту, то тем более знает эти теоремы сложения.

Безусловно. Но это ситуация "Знал, но забыл". Когда проще выписать экспоненту, чем искать справочник, что уточнить, там + или -.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #873085 писал(а):

проще выписать экспоненту, чем искать справочник, что уточнить, там + или -.

Если вспомнить, то да. Однако восстановить проще по предельным случаям. Скажем, почему у синуса суммы плюс? -- потому, что синус примерно равен аргументу. А почему для косинуса плюс, наоборот, для разности? -- потому, например, что в нуле должна получаться единица. И т.д.

[Munin]

ewert в сообщении #873102 писал(а):

Скажем, почему у синуса суммы плюс? -- потому, что синус примерно равен аргументу.

Даже не поэтому. А потому, что слева $a$ и $b$ равноправны и перестановочны, и справа должны тоже.

[Oleg Zubelevich]

смотря что известно. из линейности скалярного произведения, например.