Обратимый оператор

[patzer2097]

(Оффтоп)

спасибо!

[mishafromusa]

ewert в сообщении #867072 писал(а):

mishafromusa в сообщении #867068 писал(а):

Она также позволяет легко разложить $\sqrt(A^*A)$ в степенной ряд.

Оно и безо всякой обратимости раскладывается. Обратимость же здесь мало чем поможет, т.к. отнюдь не препятствует тому, чтобы нолик был точкой спектра.

Не препятствует, но и не помогает, обратимый случай проще.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #867072 писал(а):

Обратимость же здесь мало чем поможет, т.к. отнюдь не препятствует тому, чтобы нолик был точкой спектра.

Это какая-то ерунда, ноль не принадлежит спектру если оператор (непрерывно) обратим.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #867186 писал(а):

если оператор (непрерывно) обратим.

Так не бывает с вероятностью приблизительно в 100%.

[g______d]

Вообще-то при любой разумной трактовке "100%" как раз 100% операторов обратимы.

[ewert]

g______d в сообщении #867204 писал(а):

как раз 100% операторов обратимы.

Да. Но отнюдь не ограниченно.

[g______d]

ewert в сообщении #867209 писал(а):

Да. Но отнюдь не ограниченно.

Открытое плотное множество – ограниченно.

[ewert]

g______d в сообщении #867211 писал(а):

Открытое плотное множество – ограниченно.

При чём тут открытое плотное?

Перечитайте историю болезни. Речь шла о том, что, дескать, обратимость якобы облегчает разложение корня в ряд. На самом деле ровно ничего она не облегчает: для облегчения требуется не просто ограниченность, а отделённость от нуля, т.е. обратимость именно ограниченная. А это -- исключение из правил. В типичных ситуациях оператор если отделён от нуля, то неограничен, ну и наоборот. Практически единственная естественная ситуация, когда ограниченная обратимость есть -- это унитарные операторы; иначе это экзотика.

[g______d]

ewert в сообщении #867214 писал(а):

В типичных ситуациях оператор если отделён от нуля, то неограничен, ну и наоборот.

Что значит "типичный"? Типичный ограниченный оператор не содержит нуля в спектре; в том смысле, что множество операторов, у которых нет нуля в спектре, открыто и плотно в $B(H)$ по операторной норме.

-- Пт, 23 май 2014 22:47:24 --

ewert в сообщении #867214 писал(а):

Речь шла о том, что, дескать, обратимость якобы облегчает разложение корня в ряд. На самом деле ровно ничего она не облегчает

Ну понятно, что имелась в виду ограниченная обратимость; во-первых, это было явно сказано А, во-вторых, если изначально речь исключительно об ограниченных операторах, допущение (upd: НЕ)ограниченной обратимости лучше отдельно оговаривать.

[ewert]

g______d в сообщении #867215 писал(а):

Ну понятно, что имелась в виду ограниченная обратимость; во-первых, это было явно сказано

Не было. Изначально вообще говорилось лишь про разложение в ряд как таковое, для которого обратимость совсем уж не пришей кобыле хвост. Затем -- конкретно про разложение корня, для которого она тоже ни к чему. Наконец, из-под полы была вытащена ограниченность обратного. Но тогда надо уж быть последовательным и отдельно рассмотреть вопрос о полярном разложении скалярных операторов; это ведь -- тоже очень важный класс!

[g______d]

ewert в сообщении #867219 писал(а):

Но тогда надо уж быть последовательным и отдельно рассмотреть вопрос о полярном разложении скалярных операторов; это ведь -- тоже очень важный класс!

Когда разговор начинают с рассмотрения алгебры $B(H)$, обратимыми операторами (обычно по умолчанию) считаются ограниченно обратимые. У меня это подразумевание никакого диссонанса не вызвало по крайней мере.

[ewert]

g______d в сообщении #867222 писал(а):

Когда разговор начинают с рассмотрения алгебры $B(H)$, обратимыми операторами (обычно по умолчанию) считаются ограниченно обратимые.

Господь с Вами. С какой стати-то?... Тем более, что в алгебре вообще нет деления.

[g______d]

ewert в сообщении #867225 писал(а):

Господь с Вами. С какой стати-то?...

Обратимый элемент алгебры.

[ewert]

g______d в сообщении #867226 писал(а):

Обратимый элемент алгебры.

Да кому он нужен?

[g______d]

ewert в сообщении #867228 писал(а):

Да кому он нужен?

Я бы предложил открыть какую-нибудь книгу по $C^*$-алгебрам, но ведь открывали же наверняка.

Так что не знаю, что ответить, кроме банальностей: спектр, резольвента, голоморфное функциональное исчисление, непрерывное функциональное исчисление от нормальных элементов и т. п. в терминах алгебры.