Даурские числа

[Ktina]

Натуральное число (в десятичной записи) называется даурским, если оно равно сумме факториала количества его цифр и куба суммы его цифр.

Иными словами, если $S(n)$ есть сумма десятичных цифр натурального числа $n$, а $T(n)$ есть количество десятичных цифр натурального числа $n$, то даурское число имеет вид

$$n=(T(n))!+(S(n))^3$$

Найти все даурские числа.

[ИСН]

Верхняя оценка - 99999, а там уж можно и без парашюта спрыгнуть.
131
222
10768

[Sirion]

Откуда такая оценка, если не секрет?

[ИСН]

Ну чтобы куб суммы цифр уж точно не достал до самого числа. У 9999 ещё достаёт.

[Sender]

А у 100000 опять не достаёт.

[Sirion]

Факториал количества цифр асимптотически растёт быстрее числа.

[ИСН]

ААААА!!!!

[ИСН]

$1\,124\,000\,727\,777\,608\,231\,368$

-- менее минуты назад --

и ещё три телеги по 23 цЫфры.
В шоке!

[Ktina]

ИСН в сообщении #866033 писал(а):

$1\,124\,000\,727\,777\,608\,231\,368$

-- менее минуты назад --

и ещё три телеги по 23 цЫфры.
В шоке!

А самое маленькое, кажется, 222?

[Edward_Tur]

131

[Руст]

Пусть $T(n)=k,S(n)=m\le 9k$.
Из неравенства $k!+(9k)^3<10^{k-1}$ при $k\ge 7$ следует $k\le 6$.
Значит $m\le 54\to n\le 15...\to k\le 5$.
Это значит $m\le 45$. Дальше снижается до $m=22$, которое дает решение
$m=22,k=5,n=10768$. Для других решений $k\le 4, m\le 21$.
Для k=4 нет решений, для k=3 решения
$m=6,k=3,n=22$ и $m=5,k=3,n=131$.
Других решений нет.