Может ли множество быть равномощно своему подмножеству?

[Brukvalub]

foo-bar2014 в сообщении #860619 писал(а):

Brukvalub в сообщении #860618 писал(а):

любую глупость

Откуда следует их транзитивность?

Из определения счетности и биекции.

[foo-bar2014]

Xaositect в сообщении #860621 писал(а):

Можете теперь доказать, что эти множества равномощны

Ну я же уже написал:

Поскольку мощность любого счетного множества равна мощности множества натуральных чисел, значит все они равномощны.

[gris]

Транзитивны не множества, а отношения.
Но я немножко ошибся. Одной транзитивности маловато будет.

Два множества равномощны, если можно установить биекцию между ними. Легко показать, что каждое множество равномощно с самим собой (рефлексивность), если первое множество равномощно второму, то и второе равномощно первому (симметричность). И, наконец, если первое множество равномощно второму, а второе третьему, то первое равномощно третьему (транзитивность).
Теперь, если по определению счётного множества, оно равномощно с множеством натуральных чисел, то из симметричности и транзитивности следует равномощность всех счётных множеств.

К сожалению, то что Вы сказали, не является доказательством. В теории множеств много теорем, связанных с мощностями. Иногда они лишь кажутся очевидными.

[Xaositect]

foo-bar2014 в сообщении #860629 писал(а):

Поскольку мощность любого счетного множества равна мощности множества натуральных чисел, значит все они равномощны.

Да, но что такое мощность множества и почему из Вашего определения следует, что мощность счетного множества равна мощности множества натуральных чисел? Напомню определение:

foo-bar2014 в сообщении #860616 писал(а):

счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами.

[foo-bar2014]

gris в сообщении #860630 писал(а):

Теперь, если по определению счётного множества, оно равномощно с множеством натуральных чисел, то из симметричности и транзитивности следует равномощность всех счётных множеств.

Ну я сразу и написал об этом, с чем тут спорили, я не понимаю.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Уточните формулировку задачи и приведите собственные попытки ее решения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.