Вопрос по линейным преобразованиям

[Omega]

Всем доброго времени суток!
Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста ,доказать, что каждое линейное преобразование однозначно представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметри­ческого преобразований. И почему, если элементы этого разложения перестановочны, то представимое преобразование - есть нормальное?

Даже не знаю с чего начать...
Может, решение - это доказательство того, что матрицы эрмитовых и антиэрмитовых преобразований образуют базис матриц всех преобразований? И как это сделать?
Заранее большое спасибо.

[nnosipov]

Omega в сообщении #859889 писал(а):

каждое линейное преобразование однозначно представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметри­ческого преобразований.

Это почти очевидно. Вспомните про вещественную и мнимую часть комплексного числа.

Omega в сообщении #859889 писал(а):

И почему, если элементы этого разложения перестановочны, то представимое преобразование - есть нормальное?

Здесь у Вас какая-то аберрация произошла. Как элементы суммы могут не быть перестановочными? Смотрите в учебнике определение нормального оператора.

[Omega]

nnosipov в сообщении #859900 писал(а):

Omega в сообщении #859889 писал(а):

...Смотрите в учебнике определение нормального оператора.

Имеется в виду, что их произведение перестановочно.

nnosipov в сообщении #859900 писал(а):

Omega в сообщении #859889 писал(а):

каждое линейное преобразование однозначно представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметри­ческого преобразований.

Это почти очевидно. Вспомните про вещественную и мнимую часть комплексного числа.

Не понял Вас. Пусть $\psi=\varphi_{1}+\varphi_{2}$ и $\varphi_{1}=\varphi_{1}^{*};\varphi_{2}=-\varphi_{2}^{*}$. А дальше что?

[provincialka]

Ну, как бы подсказать, не говоря ответа... Вам ведь уже намекнули про вещественную и мнимую часть. Знаете ли вы явную формулы, выражающую $\operatorname{Re}z$ через $z$?

[Omega]

provincialka, проблем с комплексными числами у меня нет: $2Re(z)=z+\overline{z}$
Я просто не понимаю каким конкретно образом это можно привязать к разложению преобразования?

[ewert]

Omega в сообщении #859912 писал(а):

проблем с комплексными числами у меня нет: $2Re(z)=z+\overline{z}$
Я просто не понимаю каким конкретно образом это можно привязать к разложению преобразования?

Это что значит? Что если сложить число и его сопряжённое, то получится вещественное.

А как аналогичное утверждение будет звучать для операторов (ну т.е., собственно, что является обобщением этого утверждения с тривиального случая скалярных операторов на общий)?...

[patzer2097]

Omega в сообщении #859889 писал(а):

И почему, если элементы этого разложения перестановочны, то представимое преобразование - есть нормальное?

ну если Вы доказали вот это

Omega в сообщении #859889 писал(а):

каждое линейное преобразование однозначно представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметри­ческого преобразований

то и запишите Ваше линейное преобразование $\ell=s_1+s_2$, где $s_1$ --- самосопряженное и $s_2$ --- кососимметрическое. Что такое нормальное преобразование? Чему равно сопряженное для $\ell$?

[ewert]

nnosipov в сообщении #859900 писал(а):

Omega в сообщении #859889 писал(а):

И почему, если элементы этого разложения перестановочны, то представимое преобразование - есть нормальное?

Здесь у Вас какая-то аберрация произошла.

Почему? Всё правильно. Это хоть и не определение нормальности, но его критерий.

[/quote]Omega, доказывайте в лоб -- тупым перемножением.

[Omega]

Я так понимаю, можно положить, что $\varphi_{1}=\dfrac{\psi+\psi^{*}}{2};\varphi_{2}=\dfrac{\psi-\psi^{*}}{2}$
Верно?

[ewert]

Верно (не считая того, что буква "фи" звучит неприлично).

[Omega]

Так получается, что нормальность $\psi$ очевидна? Ведь $(\varphi_{1}+\varphi_{2})^{*}(\varphi_{1}+\varphi_{2})=(\varphi_{1}+\varphi_{2})(\varphi_{1}+\varphi_{2})^{*}=\varphi_{1}^{2}-\varphi_{2}^{2}$ по условию?

[ewert]

Omega в сообщении #859928 писал(а):

$(\varphi_{1}+\varphi_{2})^{*}(\varphi_{1}+\varphi_{2})=(\varphi_{1}+\varphi_{2})(\varphi_{1}+\varphi_{2})^{*}=\varphi_{1}^{2}-\varphi_{2}^{2}$ по условию?

В принципе, да (если я правильно понял, что Вы понимаете под "по условию").

[nnosipov]

ewert в сообщении #859919 писал(а):

Почему? Всё правильно. Это хоть и не определение нормальности, но его критерий.

Да уж, чего это я ... Надеюсь, ТС не обидится.

[patzer2097]

Omega, а удалось ли Вам все-таки доказать, что линейное преобразование именно

Omega в сообщении #859889 писал(а):

однозначно

представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметри­ческого преобразований?