О движении на растяжимом тросе

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #857789 писал(а):

Если Вы о решении из стартового поста, то периодичность надо доказывать, наугад взятое решение периодическим не будет

Период по $\varphi$ не будет рационален с $2\pi,$ но периодичность будет (в полярных координатах), и доказывается она элементарно (сведением к одномерной задаче, см. центральный потенциал в любой книге по теормеханике).

-- 01.05.2014 23:01:52 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #857789 писал(а):

ну это уже Ваши личные представления о том, что значит "решить", это мало интересно.

Вы знаете, это скорее ваши личные представления о том, что значит "решить", мало интересны. Здесь, в разделе "Физика", ewert в среднем подразумевает под словом "решить" то же, что и все присутствующие, а вот вы - зачастую нет. И ваши ссылки на специалистов - адекватны в другом разделе, в "Математике".

[ewert]

(Оффтоп)

да математики, знаете ли, -- тоже далеко не всегда неадекватны

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #857801 писал(а):

Период по $\varphi$ не будет рационален с $2\pi,$ но периодичность будет

я говорил про решение (уравнений движения, естественно), а не профункцию $r(\varphi)$ ,решение это функция $\mathbb{R}_t\to\mathbb{R}^2$ и она условно периодична, но непериодична для почти всех решений. Если вы параметризуете решение параметром $\varphi$ то это ничего не изменит.

Munin в сообщении #857801 писал(а):

Здесь, в разделе "Физика", ewert в среднем подразумевает под словом "решить" то же, что и все присутствующие,

ну если вам угодно считать, что раз в ответ входит корень уравнения третьей степени то задача не решается, то на здоровье, как говорится. Только за всех это решение принимать не надо.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #857883 писал(а):

я говорил про решение (уравнений движения, естественно), а не профункцию $r(\varphi)$ ,решение это функция $\mathbb{R}_t\to\mathbb{R}^2$ и она условно периодична

Ну, это как посмотреть. Если $\mathbb{R}_t\to\mathbb{R}^2_{r,\varphi},$ то периодична, как ни крутись :-)

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #857883 писал(а):

ну если вам угодно считать, что раз в ответ входит корень уравнения третьей степени то задача не решается

Да не, это мне так не угодно. И ewert-у, вроде ба, не угодно. Он другое произносил, и мы его друг с другом поняли. А ваше занудство вкупе с непониманием - смотрится как несение своего устава в чужой монастырь, и хорошо ещё если устава без ошибок per se.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #857927 писал(а):

Ну, это как посмотреть. Если $\mathbb{R}_t\to\mathbb{R}^2_{r,\varphi},$ то периодична, как ни крутись

хотите сказать, что периодичность решения зависит от выбора системы координат на конфигурационном многообразии?

[Munin]

Хочу сказать, что периодичность зависит от того, что периодичностью называть.

-- 02.05.2014 03:01:57 --

Кстати, да. И от координат тоже. Можно считать, что $\varphi\in[0,2\pi),$ а можно считать, что $\varphi\in\mathbb{R}.$ Второй случай относится к первому как накрытие к накрываемому многообразию. Имеем $\exists T\,\exists\mathbf{R}\quad f(t+T)=f(t)+\mathbf{R}.$ Почему бы и не назвать это периодичностью? (Например, в смысле численного решения, достаточно найти решение на интервале $[0,T],$ и дальше использовать только его.) Введя координату $\mathbf{r}'=\mathbf{r}-(\mathbf{R}/T)t,$ получаем периодичность в чистом стандартном виде.

[Ingus]

ДУ длины троса правильно выписано?
$\ddot x=-\frac{k}{m}(x-L)+\frac{V^2 L^2}{x^3}$

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #857959 писал(а):

Хочу сказать, что периодичность зависит от того, что периодичностью называть.

функция $f:\mathbb{R}\to M$ ($M$ -- произвольное множество) называется $\omega-$ периодической $(\omega\ne0$) если $f(t+\omega)=f(t)$ для любого $t$. Иногда сюда еще добавляют требование минимальности $|\omega|$, а иногда считают, что периодов у функции может быть сколько угодно.
Приведите учебник в котором написано что-то иное.

Munin в сообщении #857959 писал(а):

Кстати, да. И от координат тоже.

Жила была кривая на многообразии. Ввели одни координаты -- она замкнута, ввели другие координаты -- она не замкнута. Замечательно!

Munin в сообщении #857959 писал(а):

Имеем $\exists T\,\exists\mathbf{R}\quad f(t+T)=f(t)+\mathbf{R}.$ Почему бы и не назвать это периодичностью?

Это звучит так. Рассмотрим функцию $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ эта функция обладает следующим свойством: $f(t+\omega)=f(t)+c,\quad c=const\ne 0$. Это, очевидно функция непериодическая.
Если ввести окружность $S=\mathbb{R}/c\mathbb{Z}$, то функции $f$ можно известным способом поставить в соответствие другую функцию $\tilde f:\mathbb{R}\to S$, которая является периодической. Это разные функции, поскольку у них разные области значений.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #858075 писал(а):

Жила была кривая на многообразии. Ввели одни координаты -- она замкнута, ввели другие координаты -- она не замкнута. Замечательно!

Ну чё ж поделать. (Слова про накрытие, видимо, пролетели мимо уха.)

Oleg Zubelevich в сообщении #858075 писал(а):

Если ввести окружность $S=\mathbb{R}/c\mathbb{Z}$, то функции $f$ можно известным способом поставить в соответствие другую функцию $\tilde f:\mathbb{R}\to S$, которая является периодической.

Можно так. А можно - не вводя окружность, а как я написал.

Функция - это её график, то есть, линия в пространстве $\mathbb{R}_t\times\mathbb{R}^n_{\mathrm{space}}$ (тут вводятся уточнения, в каком случае такая линия является графиком функции). Дальше мы можем это пространство биективно преобразовывать, не нарушая свойства "быть графиком функции" для произвольного такого графика. Например, брать линейные преобразования, переводящие слои $\mathbb{R}_t$ в себя. Если некоторым таким преобразованием (известным) график преобразуется в график функции, которую вы называете $\omega$-периодической, то и исходный график, и все такие графики после всех таких преобразований можно называть периодическими. (Можно ввести другой термин, если этот вас смущает.)

Oleg Zubelevich в сообщении #858075 писал(а):

В нашем случае $M$ это плоскость с выброшенной точкой.

А вот $\mathbb{R}_t\times M$ - уже нет. Её можно "закручивать винтом" вокруг линии $\mathbb{R}_t\times O.$

-- 02.05.2014 11:49:41 --

Нет, широковато определение получается. Но допиливать мне сейчас лень. Может быть, вечером.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #858081 писал(а):

и все такие графики после всех таких преобразований можно называть периодическими.

а на тогда это надо?

кстати такую процедуру вы будеде проделывать для каждого решения по разному

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #858084 писал(а):

кстати такую процедуру вы будеде проделывать для каждого решения по разному

Да, тут надо как-то иначе. Привлекать симметрии системы.

У меня был ещё вариант, но я его стёр. Вообще страшно широкий. Под него подпадала вообще любая динамическая система :-)

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

в связи с эти вспоминается очаровательное замечание, которое несколько лет назад сделал на методическом семинаре нашей кафедры профессор Самсонов.
Рассмотрим стандартный математический маятник. Все знают, что конфигурационным пространством данной системы является окружность (параметризованная скажем углом $\psi\pmod{2\pi}$). И вообще, конфигурационное пространство по самому своему определению с динамикой не связано, это чистая геометрия. А теперь представим себе, что к маятнику в районе его крепления приделали спиральную пружину, которая создает момент $M=-c\psi$. $M$ не является однозначной функцией на окружности, момент $M$ потенциален: $M=-V_\psi,\quad V=c\psi^2/2$ но, увы, тоже только локально. И получается, что естественней считать, что всетаки $\psi\in\mathbb{R}$.

[Munin]

Вы меня ровно этим примером убедили в обратном. Я его вижу иначе: что $\varphi\in\mathbb{R}/2\pi,$ но подобная пружина "запоминает путь" от исходного положения до текущего, в топологическом смысле (сколько оборотов было сделано вокруг любых особенностей, дыр и ручек). То есть, именно такая пружина, будучи приделана к маятнику, заставляет его двигаться не по исходному многообразию, а по некоторому его накрытию (не обязательно универсальному). Такая пружина, или какой-то ещё подобный механизм, может работать по немеханическим законам, "забывая" некоторые пути, и "не забывая" другие.

Но всё-таки, "периодичность" решения в исходной задаче хочется как-то описать. Как-то близко к той периодичности, которую определили вы.

[ewert]

Зачем её ещё как-то описывать?... Радиальная координата зависит от времени периодически в буквальном смысле. Угловая -- периодически с тем же периодом плюс линейно. Соответственно, радиус от угла зависит тоже периодически. Чего ещё нужно?...

[Oleg Zubelevich]

Периодическое решение ( в стандартном понимании этого слова, а не в вашем) описывает на плоскости замкнутую кривую.