2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма различных дробей обратных натуральным квадратам
Сообщение29.04.2014, 22:56 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Здравствуйте!

Докажите, что $1/2$ можно представить в виде суммы различных дробей, обратных натуральным квадратам.

Никаких идей в голове нет. Надеюсь на Вашу помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма различных дробей обратных натуральным квадратам
Сообщение29.04.2014, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11242
Казань
Конечного числа дробей? А то ряд-то составить - раз плюнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма различных дробей обратных натуральным квадратам
Сообщение29.04.2014, 23:09 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Именно, конечного числа дробей!
В ответе есть такое разложение: $$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{7^2}+\dfrac{1}{9^2}+\dfrac{1}{12^2}+\dfrac{1}{14^2}+\dfrac{1}{21^2}+\dfrac{1}{36^2}+\dfrac{1}{45^2}+\dfrac{1}{60^2}$$
Но как к этому придти я понятия не имею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма различных дробей обратных натуральным квадратам
Сообщение29.04.2014, 23:21 
Заслуженный участник


04/05/09
4394
Перебором, ограничивая поиск простыми делителями 2, 3, 5 и 7.
2 и 3 надо будет суммировать до бесконечности.
2, 3 и 5 можно и конечную сумму получить, но количество слагаемых требуется большое.
А вот до 7 уже легче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма различных дробей обратных натуральным квадратам
Сообщение29.04.2014, 23:59 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
venco
замечание у Вас интересное, но честно говоря я его практически не понял. А почему именно эти простые делители? Как- то непонятно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма различных дробей обратных натуральным квадратам
Сообщение30.04.2014, 04:16 
Заслуженный участник


04/05/09
4394
Во-первых, каждый простой делитель выбранных чисел должен встретиться как минимум два раза, иначе у суммы в знаменателе он останется, причём в квадрате.
Далее, если ограничиться некоторым набором простых делителей, то предел суммы со всеми возможными числами довольно легко посчитать. Попробуйте вывести этот предел самостоятельно.
Зная предельную сумму, можно понять, что 2 и 3 среди этих делителей должны быть, иначе требуемой суммы просто не наберётся. Если добавить 5, то предел будет лишь чуть больше половины, т.е. придётся набрать много слагаемых до требуемой суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма различных дробей обратных натуральным квадратам
Сообщение30.04.2014, 16:46 
Заслуженный участник


08/04/08
8373
Whitaker в сообщении #857040 писал(а):
А почему именно эти простые делители?
Например, потому, что их сокращать легче.

Можно пытаться решать задачу так: разложить дробь в сумму обратных квадратов (любых), а потом эти обратные квадраты раскладывать дальше в сумму различных обратных квадратов.
Например, если $a^2+b^2=c^2$ (а такие $a,b,c$ мы искать умеем), то $\frac{1}{(ab)^2}=\frac{1}{(ac)^2}+\frac{1}{(bc)^2}$. Можно умножать это соотношение на любое $\frac{1}{k^2}$.
Или конкретные тождества можно извлечь из ответа: $1=\frac{1}{7^2}+\frac{1}{14^2}+\frac{1}{21^2}$, опять же, умножать их на любое $\frac{1}{k^2}$.
Можно поискать и числа $a,b,c$ вида $1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{c^2}{(ab)^2}$, необязательно все, но можно много найти и это тоже может помочь.

(возможно, это будет интересно)

статья R.L.Graham On finite sums of reciprocals of distinct n-th powers
Кстати, в этой статье есть еще одно разложение $\frac{1}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма различных дробей обратных натуральным квадратам
Сообщение30.04.2014, 20:40 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Sonic86
Спасибо большое!
Очень интересное замечание.
P.S. Да ссылка на статью Р.Грэхема точно представляет интерес.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group