Сумма различных дробей обратных натуральным квадратам

[Whitaker]

Здравствуйте!

Докажите, что $1/2$ можно представить в виде суммы различных дробей, обратных натуральным квадратам.

Никаких идей в голове нет. Надеюсь на Вашу помощь.

[provincialka]

Конечного числа дробей? А то ряд-то составить - раз плюнуть.

[Whitaker]

Именно, конечного числа дробей!
В ответе есть такое разложение:

$$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{7^2}+\dfrac{1}{9^2}+\dfrac{1}{12^2}+\dfrac{1}{14^2}+\dfrac{1}{21^2}+\dfrac{1}{36^2}+\dfrac{1}{45^2}+\dfrac{1}{60^2}$$

Но как к этому придти я понятия не имею.

[venco]

Перебором, ограничивая поиск простыми делителями 2, 3, 5 и 7.
2 и 3 надо будет суммировать до бесконечности.
2, 3 и 5 можно и конечную сумму получить, но количество слагаемых требуется большое.
А вот до 7 уже легче.

[Whitaker]

venco
замечание у Вас интересное, но честно говоря я его практически не понял. А почему именно эти простые делители? Как- то непонятно...

[venco]

Во-первых, каждый простой делитель выбранных чисел должен встретиться как минимум два раза, иначе у суммы в знаменателе он останется, причём в квадрате.
Далее, если ограничиться некоторым набором простых делителей, то предел суммы со всеми возможными числами довольно легко посчитать. Попробуйте вывести этот предел самостоятельно.
Зная предельную сумму, можно понять, что 2 и 3 среди этих делителей должны быть, иначе требуемой суммы просто не наберётся. Если добавить 5, то предел будет лишь чуть больше половины, т.е. придётся набрать много слагаемых до требуемой суммы.

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #857040 писал(а):

А почему именно эти простые делители?

Например, потому, что их сокращать легче.

Можно пытаться решать задачу так: разложить дробь в сумму обратных квадратов (любых), а потом эти обратные квадраты раскладывать дальше в сумму различных обратных квадратов.
Например, если $a^2+b^2=c^2$ (а такие $a,b,c$ мы искать умеем), то $\frac{1}{(ab)^2}=\frac{1}{(ac)^2}+\frac{1}{(bc)^2}$. Можно умножать это соотношение на любое $\frac{1}{k^2}$.
Или конкретные тождества можно извлечь из ответа: $1=\frac{1}{7^2}+\frac{1}{14^2}+\frac{1}{21^2}$, опять же, умножать их на любое $\frac{1}{k^2}$.
Можно поискать и числа $a,b,c$ вида $1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{c^2}{(ab)^2}$, необязательно все, но можно много найти и это тоже может помочь.

(возможно, это будет интересно)

статья R.L.Graham On finite sums of reciprocals of distinct n-th powers
Кстати, в этой статье есть еще одно разложение $\frac{1}{2}$

[Whitaker]

Sonic86
Спасибо большое!
Очень интересное замечание.
P.S. Да ссылка на статью Р.Грэхема точно представляет интерес.