Угол между градиентами скалярных полей в точке M

[Logan]

Проверьте ход решения пожалуйста.

$u=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$

$v=\frac{x^{3}}{3}+6y^{3}+3z^{3}$

$M(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{3})$


$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}$

$\frac{\partial u}{\partial x}(M)=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9-2-\frac{2}{4}}}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{13}{2}}}=-\sqrt{\frac{4}{13}}$

$\left \langle gradU(M),gradV(M) \right \rangle=-2\sqrt{\frac{4}{13}}-\frac{9}{2}\sqrt{\frac{4}{13}}=-\frac{13}{2}\sqrt{\frac{4}{13}}$


$|gradU(M)|=\sqrt{(-\sqrt{\frac{4}{13}})^{2}+(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{13}})^{2}}=\sqrt{\frac{4}{13}+\frac{1}{13}}=\sqrt{\frac{5}{13}}$

$\frac{\partial v}{\partial x}=x^{2}$

$\frac{\partial v}{\partial y}=18y^{2}$

$\frac{\partial v}{\partial z}=9z^{2}$

$gradV(M)=2i+9j+3k$

$|gradV(M)|=\sqrt{2^{2}+9^{2}+3^{2}}=\sqrt{94}$

$\left \langle gradU(M),gradV(M) \right \rangle=-2\sqrt{\frac{4}{13}}-\frac{9}{2}\sqrt{\frac{4}{13}}=-\frac{13}{2}\sqrt{\frac{4}{13}}$

$\cos\alpha =\frac{\left \langle gradU(M),gradV(M) \right \rangle}{|gradU(M)|\cdot |gradV(M)|}=-\frac{\frac{13}{2}\sqrt{\frac{4}{13}}}{\sqrt{\frac{5}{13}}\cdot \sqrt{94}}=-\frac{\frac{13}{2}\sqrt{\frac{4}{13}}}{\sqrt{\frac{470}{13}}}=-\frac{13}{2}\cdot \sqrt{\frac{2}{235}}$

$\alpha =\arccos(-\frac{13}{2}\cdot \sqrt{\frac{2}{235}})\approx 126.8$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Logan
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

[svv]

Каждый шаг не проверял, но ответ у меня такой же.
Совет: квадратный корень можно проигнорировать и вычислять $\operatorname{grad}(9-x^2-y^2)$, потому что $\operatorname{grad}f(x,y,z)$ и $\operatorname{grad}g(f(x,y,z))$ коллинеарны, а в случае $\frac{dg}{df}>0$, как у нас, даже сонаправленны.
Ответ можно чуть упростить: $\arccos \left(-\frac{13}{\sqrt{470}}\right)$
Число $126.8$ надо сопроводить значком градусов $°$ (по умолчанию значение угла понимается в радианах).