Доказать, что подмножество - это пространство.

[ghetto]

Цитата:

Пусть $V$ векторное пространство, и пусть $W$ подмножество $V$. Тогда $W$ является подпространством $V$ тогда и только тогда когда следующие два свойства удовлетворены:

• Если $w_1$ и $w_2$ в $W$, то $w_1 + w_2$ тоже в $W$.

• Если $w$ в $W$ и $c$ скаляр, то $cw$ также в W.

Сторона $\to$ легко доказывается.

$\leftarrow$ тоже легко доказывается если считать, что $W$ - пусто. Два вышеперечисленных своиства имеют место быть в пустом множестве.

Но здесь $W$ вроде не пусто, что еще надо доказать.

А где начать?

Спасибо.

edit:


Если $W$ пусто, то лемма доказывается автоматом. Если $W$ не пусто, то надо показать, что $W$ подчиняется 7 аксиомам и двум своиствам для док-ва того, что $W$ есть пространство. Если это показать, то будет доказано, что $W$ не пусто. С аксиомами все просто, потому как если $V$ подчиняется им, то $W$ будет тоже.

Труднее дело обстоит с $0$ . А вдруг $0$ нах-ся за пределами $W$?

Также не представляю себе как показать $W$ подчиняется двум свойствам выше.

[kp9r4d]

ghetto в сообщении #851093 писал(а):

$\leftarrow$ тоже легко доказывается если считать, что $W$ - пусто.

Это хороший метод доказательства, потому что он применим без изменений вообще к любому утверждению об элементах $W$!
Вам всего-то показать надо, что для $W$ выполняются все аксиомы векторного пространства. Выполнимость какой именно аксиомы вам неочевидна?

[patzer2097]

ghetto, добавьте в Ваше утверждение требование непустоты $W$, чтобы оно стало верным
но в любом случае Вам стоит привести Ваше определение подпространства и попытки решения

[ewert]

Смотря что считать определением подпространства. По гамбургергскому счёту-то -- ровно якобы подлежащее д-ву утверждение ровно определением и является.

[patzer2097]

ewert в сообщении #851109 писал(а):

По гамбургергскому счёту-то -- ровно якобы подлежащее д-ву утверждение ровно определением и является.

я тоже так думаю, но посмотрим, какое определение имеет в виду ТС

[ghetto]

patzer2097 в сообщении #851107 писал(а):

ghetto, добавьте в Ваше утверждение требование непустоты $W$, чтобы оно стало верным
но в любом случае Вам стоит привести Ваше определение подпространства и попытки решения

Векторное пространство $W$ является подпространством векторного пространства $V$, если $W \subseteq V$ и $W$ подчиняетя тем же законом сложения векторов и умножения на скаляр что и $V$.

Я приведу свои попытки, пока думаю.

[arseniiv]

ewert в сообщении #851109 писал(а):

По гамбургергскому счёту-то -- ровно якобы подлежащее д-ву утверждение ровно определением и является.

Если это считать определением, придётся доказывать когда-нибудь потом утверждение «подпространство — это пространство»! От доказательства такой штуки, как если не считать то доказываемое определением, не спрятаться. Придётся явно проговорить про сужения и всё такое с аксиомами.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Приведите свои попытки решения и/или укажите затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[kp9r4d]

ghetto в сообщении #851093 писал(а):

Если $W$ пусто, то лемма доказывается автоматом.

Если $W$ пусто то это, вообще говоря, не подпространство по определению. Вам на то уже указывали

patzer2097 в сообщении #851107 писал(а):

ghetto, добавьте в Ваше утверждение требование непустоты $W$, чтобы оно стало верным

ghetto в сообщении #851093 писал(а):

Труднее дело обстоит с $0$ . А вдруг $0$ нах-ся за пределами $W$?

В $W$ есть хотя бы один элемент $w \in W$. А ещё есть элемент $(-1)w$ по второму свойству из цитаты в вашем первом посте. А ещё есть их сумма по первому свойству из цитаты в вашем первом посте.

[Otta]

kp9r4d в сообщении #851134 писал(а):

А ещё есть элемент $(-1)w$ по второму свойству из цитаты в вашем первом посте.

А еще есть элемент $0\cdot w$.

Вообще, все утверждение, имхо, слишком очевидное, чтобы в нем было что доказывать. Я согласна с ewert, фактически это определение.

-- 18.04.2014, 05:52 --

ghetto в сообщении #851093 писал(а):

Также не представляю себе как показать $W$ подчиняется двум свойствам выше.

Не поняла, зачем это представлять при доказательстве в эту сторону.

[ghetto]

kp9r4d в сообщении #851134 писал(а):

Если $W$ пусто то это, вообще говоря, не подпространство по определению. Вам на то уже указывали

Это потому, что пустое множество не содежит в себе отрицательный элемент к примеру?

patzer2097 в сообщении #851107 писал(а):

ghetto, добавьте в Ваше утверждение требование непустоты $W$, чтобы оно стало верным

Боюсь это сделать нельзя потому что время редактирования первого поста уже истекло.

kp9r4d в сообщении #851134 писал(а):

В $W$ есть хотя бы один элемент $w \in W$. А ещё есть элемент $(-1)w$ по второму свойству из цитаты в вашем первом посте. А ещё есть их сумма по первому свойству из цитаты в вашем первом посте.

А разве мы сначала не должны доказать, что подчиняется этим свойствам перед тем как их использовать?

[Otta]

ghetto в сообщении #851136 писал(а):

А разве мы сначала не должны доказать, что подчиняется этим свойствам перед тем как их использовать?

Еще раз: определитесь пожалуйста, в какую сторону Вы доказываете.

[ghetto]

Otta в сообщении #851137 писал(а):

ghetto в сообщении #851136 писал(а):

А разве мы сначала не должны доказать, что подчиняется этим свойствам перед тем как их использовать?

Еще раз: определитесь пожалуйста, в какую сторону Вы доказываете.

Otta в сообщении #851135 писал(а):

Не поняла, зачем это представлять при доказательстве в эту сторону.

А вы правы. Я видимо в панике перемудрил со сторонами. В эту сторону у нас ведь эти свойства в гипотезе. Ясно. Но тогда тут уже не о чем говорить.

Спасибо.

[kp9r4d]

ghetto в сообщении #851136 писал(а):

Это потому, что пустое множество не содежит в себе отрицательный элемент к примеру?

Не, не потому, эта аксиома как раз выполняется; утверждение о том, что в пустом множестве для любого элемента найдётся обратный — верное. Потому, что вектора должны образовывать группу по сложению. А группа по определению не пустое множество. Почему такое определение группы я не знаю, возможно какие-то теоретико-категорные причины, а возможно и просто эстетические.