Длина дуги по Гюйгенсу

[Алексей К.]

Ну как бы

$$\frac{l}{p}\approx \frac12-\frac1{48}\xi^2+0\cdot\xi^3+{\scriptstyle\frac1{3840}\xi^4},\quad\frac{L}{p}\approx 1-\frac1{6}\xi^2+0\cdot\xi^3+{\scriptstyle\frac1{120}\xi^4},$$

забываем на $\xi^4$, пробуем исключить $\xi$. Что легко делается. Поскольку кубы мы не отбрасывали, а реально учли (они сами виноваты, что с нулевыми коэффициентами вошли), то можем рассчитывать на весьма высокую точность полученной формулы.

[Keter]

Алексей К., вот Гюйгенса интересовали именно $l$ и $L.$ Возникла формула $p \approx 2l+\dfrac{2l-L}{3}.$
Но на самом-то деле $p=2l+\dfrac{2l-L}{3}+\color{blue}{\text{что-то еще}=H}.$ Вот я и подумал, а можно ли постараться продолжить формулу с $l$ и $L$ и написать следующий член разложения $H=h(l, L),$ что-то типа асимптотического разложения, и будет ли оно вообще разлагаться?

Думаю, надо исходить из системы $l=2r \sin \dfrac{\xi}{2}, L=2r\sin \xi.$ Можно выцепить $2\arccos \dfrac{L}{2l}=\xi.$

[Keter]

$\arccos x = \dfrac{\pi}{2}-\arcsin x=\dfrac{\pi}{2}- \bigg( x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3x^5}{40}+... \bigg).$ Даже если брать $\arccos x= \dfrac{\pi}{2} - x - O(x^3),$ то получим $\xi \approx \pi-\dfrac{L}{l}.$

Далее, $2r = \dfrac{L}{\sin \xi} \approx L \bigg( \xi-\dfrac{\xi^3}{6} \bigg)^{-1} \approx \dfrac{6Ll^3}{(\pi l-L)(6l^2-(\pi l-L)^2)}.$

И наконец-то, $p \approx \dfrac{8l-L}{3}+2r\dfrac{\xi^5}{4\cdot 5!} \approx \dfrac{8l-L}{3}+\dfrac{L(\pi l- L)^4}{80 l^2 \Big(6 l^2-(\pi l-L)^2\Big)}.$

Получается $\xi$ приблизили одним слогаемым, а $r=r(\xi)$ уже двумя. Пусть $n(\cdot)$ - количество слагаемых в приближении. Тогда $n(\xi)=1, n(r)=2,$ и пусть тогда $H=H_{n(\xi), n(r)}=h_{n(\xi), n(r)}(l, L).$ Получается через $H$ обозначаем третий член разложения в формуле $p=2l+\dfrac{2l-L}{3}+...,$ то есть он относится к третьему члену разложения $\sin \xi.$

То есть получили $H_{1,2}=h_{1,2}(l, L)=\dfrac{L(\pi l- L)^4}{80 l^2 \Big(6 l^2-(\pi l-L)^2\Big)}.$

А вот $H_{1,1}=\dfrac{L(\pi l-L)^4}{480 \cdot l^4}.$

[Алексей К.]

(Я присоединюсь в выходные, если не вопрос не закроется).

-- 17 апр 2014, 22:19:02 --

Первое, что я попробую --- заменить пару переменных $(l,L)$ на $(l,d)$, где $d=\frac{2l-L}{3}$, полагая, что $d\ll l$.

[Keter]

Алексей К., спасибо, буду Вам очень рад. Да, хорошая идея заменить на $d.$ Попробую.

[Алексей К.]

И, признаться, я уже что-то попроверял, тоже заинтересовался лишним членом разложения. Но для критического (в каком-то смысле) случая $l=2r$, $L=0$ (т.е. $\xi=\pi$) результат оказался не особо, и я не стал это публиковать. (И уже забыл )

[Keter]

Алексей К., и мне вот тоже стало интересно. Так при $L=0$ у нас $\xi=0$ и $l=0.$ А случай $L=0, \xi=\pi$ невозможен геометрически... Разве нет?

[Алексей К.]

Keter в сообщении #851033 писал(а):

А случай $L=0, \xi=\pi$ невозможен геометрически... Разве нет?

Конечно, возможен, и вполне естественно его посмотреть.

Keter в сообщении #849417 писал(а):

если у нас три уравнения, $(p=2r\xi, l=2r\sin \dfrac{\xi}{2}, L=2r\sin \xi),$

(это Вы писали, и это правильно). Подставьте $\xi=\pi$. ПолучИте $l=2r$ (обе хорды --- совпадающие диаметры), $L=0$. Ничего особенного --- просто я замахнулся на случай, когда дуга окружности --- вся $2\pi$-окружность.

-- 17 апр 2014, 23:26:04 --

Но $\pi$ получилось плохое, больше 4-х, si je ne me trompe.

Алексей К. в сообщении #851024 писал(а):

результат оказался не особо, и я не стал это публиковать.

[Keter]

Алексей К., кажется, что заменить $(l,L)$ на $(l, d)$ не так уж и просто, а может и ненужно даже. Просто у нас $p$ приближается через $r$ и $\xi.$ А разложение по $(l, L)$ ищем так, что мы берем один из тех членов приближения, например следующий -- $2r \dfrac{\xi^5}{4 \cdot 5!},$ и стараемся выразить $r, \xi$ через $l$ и $L.$ Я ведь прав?
Но найти разложение по $(l, d)$ было бы интересно. Но, думаю, там будут дроби еще хуже, чем у $(l, L).$

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Keter в сообщении #851038 писал(а):

Но, думаю, там будут дроби еще хуже,

Мой ученик, 8-классник, кажется, наконец, перестал бояться дробей. Вряд ли я бы этого добился, если бы учились по интернету. А школьная учительница всё твердит --- бойтесь их, бойтесь, избавляйтесь !

-- 17 апр 2014, 23:37:31 --

Keter в сообщении #851038 писал(а):

Алексей К., кажется, что заменить $(l,L)$ на $(l, d)$ не так уж и просто,

Подозреваю, что Вы научились пользоваться мат-пакетами, но слово resultant не освоили пока.

[Keter]

Алексей К. в сообщении #851036 писал(а):

замахнулся на случай, когда дуга окружности --- вся $2\pi$-окружность.

Аааа... Понял, я сразу не воспринял, что вся окружность.

-- 17 апр 2014, 21:42 --

Алексей К., но даже с матпакетом не красиво. А $(l, L)$ выражается неплохо.

-- 17 апр 2014, 21:48 --

Алексей К. в сообщении #851036 писал(а):

когда дуга окружности --- вся $2\pi$-окружность.

Но ведь формула Гюйгенса нужна для практического применения, когда неизвестный угол дуги $<\pi$ и неизвестно расположение центра окружности. Мне кажется для измерения дуги архитектурной арки такое можо применить.

[Алексей К.]

Keter в сообщении #851042 писал(а):

Но ведь формула Гюйгенса нужна для практического применения,

Ну так мы же с Вами математики, и нам (ОБОИМ!) страшно интересно, что произойдёт в случаях "непрактических". Мы эти "непрактические" случаи испольуем и для проверки своих выкладок-выводов. И в интимных беседах это обсуждаем, в узком dxdy-кругу.
Да и архитекторы все уже наверняка обCADились, и им приближённые формулы не нужны.

А архитекторам мы об этом рассказывать не будем, равно как и об особом случае $l=32L$.

Настойчиво повторяю: случай $L=0$ Вам тоже должен быть интересен, независимо от разочаровывающего результата.

-- 18 апр 2014, 00:01:55 --

Ой, а может Вы --- архитектор? Тогда...

[Keter]

Алексей К. в сообщении #851050 писал(а):

Ну так мы же с Вами математики, и нам (ОБОИМ!) страшно интересно, что произойдёт в случаях "непрактических".

Полностью с Вами согласен.

Наверное просто вопрос, а почему же формула в этом особ случае плоха, можно объяснять с практической точки зрения.
Задумался, как это изменить.

[Алексей К.]

Keter в сообщении #851052 писал(а):

Задумался, как это изменить.

Признаться, не понял, что Вы хотите изменить.
Якобы "плохой" результат данной приближённой формулы --- это как бы природа окружности.

Вы задумались над изнасилованием окружности, изнасилованием, в конце концов, природы?

Также (в очередной раз) намекаю, что людям пора спать.

[Keter]

Просто получается, что в случае $L=0$ и формула не нужна. Берем нашу систему $p=2r\xi, l=2r\sin \dfrac{\xi}{2}, L=2r\sin \xi.$ $l, L$ известно, тогда $L=2r\sin\xi \Rightarrow \xi=0, \xi=\pi \Rightarrow l=0, l=2r$ и $p=2r\xi=0$ или $p=\pi l.$