Изоморфизм групп

[VAL]

masterflomaster в сообщении #840790 писал(а):

Да, скорее всего без нуля))
Мы просто на занятиях всегда так $\langle A^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ обозначаем мультипликативную группу, но всегда подразумевали, что в ней нет 0 (если был бы 0, то $\langle A^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ не являлась группой, т.к. для 0 нет обратного элемента), а насчет звездочки я даже не задумывался) В общем, $\langle A^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ - мультипликативная группа без нуля.

Подозреваю, что через $\mathbb Z^*$ обозначена мультипликативная группа кольца $\mathbb Z. И, стало быть, она изоморфна $\langle\mathbb Z/2\mathbb Z,+\rangle$.

[masterflomaster]

А можете объяснить, почему $\langle Z^*,\cdot, ^{-1} \rangle$ изоморфна $\langle Z/2Z,+, - \rangle$? Я не очень представляю, как выглядит $\langle Z^*,\cdot, ^{-1} \rangle$, но в ней должно быть 2 элемента, т.к. она изоморфна $\langle Z/2Z,+, - \rangle$.

[lena7]

masterflomaster
Какие элементы входят в $\mathbb Z^*$?

[masterflomaster]

Я как раз это и не очень понимаю, что и написал в моём прошлом сообщении))
Ну, тогда предположу) Напишите, пожалуйста, верно или нет)

Если $\langle Z^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ является группой, то:
1) Должен существовать единичный элемент. В нашем случае это 1.
2) У каждого элемента должен существовать обратный, но для целого числа большего по модулю единицы - уже число не целое.
Следовательно, $\langle Z^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ состоит из двух элементов: 1 и -1.

[lena7]

Да

[masterflomaster]

Спасибо)

-- 13.04.2014, 17:04 --

А как тогда будет выглядеть изоморфизм между $\langle Z^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ и $\langle Z/2Z, +, -\rangle$?
$\varphi(a) = a$ ?

[lena7]

masterflomaster в сообщении #849143 писал(а):

$\varphi(a) = a$ ?

Что это значит?

[masterflomaster]

т.е:
$\varphi(0) = 1$
$\varphi(1) = -1$

[lena7]

Да

[masterflomaster]

Хорошо, большое спасибо)