2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О символьной записи определений.
Сообщение12.04.2014, 12:21 


02/04/13
294
Определение 1. Пусть $a,\,b\in \mathbb{Z}$, причем $b\neq 0$. Число $a$ делится на число $b$ (пишут $a\vdots b$), если существует такое $c\in \mathbb{Z}$, что $a=cb$.

Правильно ли будет записать это определение так:
$a\vdots b \Longleftrightarrow^{def} a\in \mathbb{Z} \wedge b\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\wedge \exists c \left(c\in \mathbb{Z} \wedge a=cb\right)$?
Или так:
$a\vdots b \Longleftrightarrow^{def} a\in \mathbb{Z} \wedge b\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\wedge \exists c \in \mathbb{Z}: a=cb.$
Но тут возникает вопрос, правильно ли использован символ двоеточия, который читается тут как "такое, что"?
Примечание: не знаю как написать правильно символ кратности и как def написать над символом равносильности.

 Профиль  
                  
 
 Re: О символьной записи определений.
Сообщение12.04.2014, 12:28 


19/05/10

3940
Россия
Можно по-моему, и так и так.
Только зачем ограничивать делители ненулевыми значениями?

 Профиль  
                  
 
 Re: О символьной записи определений.
Сообщение12.04.2014, 12:35 


02/04/13
294
mihailm в сообщении #848615 писал(а):
Только зачем ограничивать делители ненулевыми значениями?

Такое определение дают во всех учебниках.

Есть более общий вопрос. Многие определения формулируются так:
Пусть $A$. Тогда $B \Longleftrightarrow^{def} C.$ Где $A, B, C$ – некоторые высказывания, а $B$ – вводимое понятие данным определением.
Это нужно понимать так:
$B\Longleftrightarrow^{def} A \wedge C$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О символьной записи определений.
Сообщение12.04.2014, 12:39 


19/05/10

3940
Россия
Это не нужно

 Профиль  
                  
 
 Re: О символьной записи определений.
Сообщение12.04.2014, 12:51 


02/04/13
294
mihailm в сообщении #848618 писал(а):
Это не нужно

Тогда получится, что \forall c \{c\in\mathbb{Z}\Rightarrow $0=0\cdot c\}$. То есть частное от деления нуля на нуль однозначно не определено.

 Профиль  
                  
 
 Re: О символьной записи определений.
Сообщение12.04.2014, 13:29 


19/05/10

3940
Россия
Так это сплошь и рядом в кольцах, и что?

 Профиль  
                  
 
 Re: О символьной записи определений.
Сообщение12.04.2014, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
melnikoff в сообщении #848610 писал(а):
Примечание: не знаю как написать правильно символ кратности и как def написать над символом равносильности.

Для символа делимости, практически, \vdots - один из самых лучших вариантов. Можно сделать его отношением:
a\mathrel{\vdots}b $a\mathrel{\vdots}b$

Чтобы написать надпись над символом равносильности,
\stackrel{def}{\Longleftrightarrow} $A\stackrel{def}{\Longleftrightarrow}B$
Красивей так:
\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} $A\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}B$

 Профиль  
                  
 
 Re: О символьной записи определений.
Сообщение12.04.2014, 23:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
melnikoff в сообщении #848617 писал(а):
Есть более общий вопрос. Многие определения формулируются так:
Пусть $A$. Тогда $B \Longleftrightarrow^{def} C.$ Где $A, B, C$ – некоторые высказывания, а $B$ – вводимое понятие данным определением.
Это нужно понимать так:
$B\Longleftrightarrow^{def} A \wedge C$ ?
Не надо возводить «определяющие» $=$ и $\Leftrightarrow$ в какой-то особый статус. «Пусть $A$, тогда $B\Leftrightarrow C$» так и запишется: $A\Rightarrow(B\Leftrightarrow C)$. Можно, конечно, попытаться вытащить $B$ и получить какую-то формулу вида $B\Leftrightarrow \varphi$ и потом нарисовать «def» над равносильностью, но…

Определение — это не какая-то особая формула. Это получение из одной теории другой, «расширенной» этим определением теории. Т. е. была теория, скажем, с сигнатурой $(\in,=)$, а после добавления ещё одной аксиомы стала с $(\in,=,\varnothing)$, а потом вообще $(\in,=,\varnothing,\subset)$.

melnikoff в сообщении #848610 писал(а):
Но тут возникает вопрос, правильно ли использован символ двоеточия, который читается тут как "такое, что"?
Не важно как он читается. Можно обойтись вообще без него. Многие люди пишут так: $\forall v\;(\varphi)$ и так: $\forall v\in A\;(\varphi)$. Другие добавляют точку или двоеточие и не всегда ставят скобки. (Третьи пишут неаккуратно, и записи соответствует несколько разных формул.) В любом варианте у точки, скобок или двоеточия нет какого-то особенного смысла.

-- Вс апр 13, 2014 02:14:55 --

(Оффтоп)

Интересно, что короче?$$\begin{array}{c} b\in\mathbb Z\setminus\{0\} \\ b\in\mathbb Z\wedge b\ne0 \end{array}$$Даже если и длиннее, всё равно лично мне удобочитаемее нижнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: О символьной записи определений.
Сообщение12.04.2014, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #848838 писал(а):
всё равно лично мне удобочитаемее нижнее.

От привычки зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: О символьной записи определений.
Сообщение13.04.2014, 18:31 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
arseniiv в сообщении #848838 писал(а):
Можно, конечно, попытаться вытащить $B$ и получить какую-то формулу вида $B\Leftrightarrow \varphi$ и потом нарисовать «def» над равносильностью, но…
Я вчера более-менее ерунду написал. Определение нового предикатного символа $r$ как раз делается добавлением вместе с ним аксиомы вида $\forall x_1\cdots\forall x_n (r(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \varphi)$, где $\varphi$ — формула без $r$. Точнее можно прочитать здесь. Так что можно рассматривать здесь $\Leftrightarrow$ «определяющей». А вот $=$ и функциональные символы так уже не всегда связаны. Например, доказав в теории вещественных чисел, что $\forall x\exists! s(s>0 \wedge s^4 = x^2)$, мы можем ввести функциональный символ $q$ добавлением его вместе с аксиомой $\forall x(q(x)>0 \wedge q(x)^4 = x^2)$, и в исходной теории нет никакой эквивалентной ей формулы вида $\forall x(q(x) = t)$, где терм $t$ не содержит $q$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group