Вписать параллелепипед в эллипсоид

[Sender]

Вы согласны с утверждением, что параллельные плоскости при преобразовании подобия останутся параллельными?

[ewert]

Утундрий в сообщении #848293 писал(а):

Затем, что они разные.

В данном контексте -- абсолютно одинаковые. Или, если угодно: параллелепипед -- это то и только то, что можно склеить из шести параллелограммов.

[ИСН]

Утундрий в сообщении #848293 писал(а):

Затем, что они разные.

В приведённом рассуждении не используется по существу размерность пространства, так что всё одно.

[Утундрий]

А, чьорд, я почему-то решил, что параллелепипед обязательно прямоуголен, а косоугольным его случаем является параллелограмм. И оба они одной размерности. Занятный заскок.

[nikvic]

Утундрий в сообщении #848176 писал(а):

Предположим, что в эллипсе имеется вписанный кривосидящий прямоугольник.

Давайте уж сразу ""Ноль равен единице.
Проще будет делать выводы

[AlterEgo]

Добрый день. Простите что почти не появляюсь в теме, вдруг что-то дел прибавилось учебных.
Проверьте пожалуйста верность хода моих рассуждений. + У меня есть несколько вопрос по поводу задачи.

Исходное уравнение эллипсоида: $\frac {x^2}{3} + \frac {y^2}{12} + \frac {z^2}{1} = 1$, а уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$. Преобразование координат: $\acute{x} = \alpha x$ и т.д. Преобразовываем координаты: $\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}, \beta = \frac{1}{\sqrt{12}}, \gamma = 1$. Тогда радиус должен быть равен $1$?

Со сферой, как я понимаю, искать надо максимум функции $V=xyz$, при конкретных условиях. Рассматривая максимум функции при условии $x^2 + y^2 + z^2 = 4R^2$ получил, что $V = \frac{8}{3\sqrt{3}} R^3$. Тут правда возник вопрос, как строго доказать, что это максимум (при моей попытке доказать это, вышло, что имеем наоборот, минимум [скорее всего ошибся]). Как потом вернуться от рассмотрения шара снова к эллипсоиду? Что будет с объёмом, радиусом?

И вот ещё, скажите, а если в качестве условия задать сразу уравнение эллипсоида, что мы тогда в ответе получим? Я получил 16 (точек?), правда понять какая из них экстремум не получилось, все вторые угловые миноры обнулились.

[Otta]

AlterEgo в сообщении #848416 писал(а):

при условии $x^2 + y^2 + z^2 = 4R^2$

Откуда дровишки?

AlterEgo в сообщении #848416 писал(а):

Тут правда возник вопрос, как строго доказать, что это максимум (при моей попытке доказать это, вышло, что имеем наоборот, минимум [скорее всего ошибся]

А как объем искали? В паре слов?

AlterEgo в сообщении #848416 писал(а):

И вот ещё, скажите, а если в качестве условия задать сразу уравнение эллипсоида, что мы тогда в ответе получим? Я получил 16 (точек?), правда понять какая из них экстремум не получилось, все вторые угловые миноры обнулились.

Забываете, что надо смотреть на касательном пространстве. Иначе говоря, учитывать дифференциалы ограничений. Ну или вообще искать, не используя функции Лагранжа.

[AlterEgo]

Otta

Otta в сообщении #848423 писал(а):

Откуда дровишки?

Из формулы диагонали параллелепипеда: $d = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$, также $2r = d \Rightarrow$ условие, при котором достигается максимум $V$(параллелепипеда), примет вид: $x^2+y^2+z^2 = 4r^2$

Otta в сообщении #848423 писал(а):

А как объем искали? В паре слов?

Составил функцию Лагранжа, приравнял нулю первые производные, выполняя поочерёдные подстановки вывел, что $x^2=y^2=z^2$. Выполняем замену в условии, получаем, что $x= \frac{2}{\sqrt{3}}r \Rightarrow V=xyz=x^3=\frac{8}{3 \sqrt{3}}r^3$.
Взяв вторые частные производные, составил полный дифференциал $L= 2\lambda \frac{\delta^2L}{\delta x^2} + z\frac{\delta^2L}{\delta x\delta y} + y\frac{\delta^2L}{\delta x\delta z} + x\frac{\delta^2L}{\delta z\delta y}$. Вот сейчас перепроверял и выявил ошибку, я не рассмотрел все (точки?). Их, по моим соображениям, получается 6. Тут только тонкость в том, что нельзя получить конкретных значений (во всякому случае $ \lambda$ у меня выразить не получилось). Выйти из ситуации можно рассмотрев случаи $+/-$ для каждого аргумента.

[AlterEgo]

Добрый вечер! Кто-нибудь может помочь с конечным оформлением решения задачи? Пазлы есть, но вот собрать картинку вместе - проблематично.

Чтобы быть более конструктивным, оглашу список моментов вызвавших трудности:

1) Оформление аффинного преобразования, преобразующего уравнение эллипсоида в уравнение сферы.
2) Конкретное значение объёма и метод доказательства его максимальности.
3) По найденной мной формуле $V$пар, перенесшего аффинные преобразования: $\acute{V} = \lvert detA \rvert \cdot V$. Откуда взять матрицу аффинного преобразования?

Заранее благодарю!

P.S. Если не затруднит, подкрепляйте свой ответ примерами вычислений, хотя бы частично. Примеры воспринимаются значительно лучше слов.

[Brukvalub]

Проще было написАть: "Бабушка, дай водицы испить, а так есть хочется, что и переночевать негде".

[AlterEgo]

Brukvalub
Мне кажется, что вряд ли кто-то будет расписывать полное решение задачи, да и не принято это здесь (вроде бы). Так что я попытался минимизировать свои запросы и представить их в более конкретном виде, нежели "Вот пример, дайте решение". Тем более, что хоть что-то сам сделать могу.
Хотя в совокупности думаю всё равно 2/3 ответа выходит.