Помогите решить интеграл

[desert_111]

Прошу прощения, помогите решить данный интеграл

$\int \frac {dx}{1+ \sqrt [3]{x+1}}$ $=$ | $z^3=x+1$ ;$dx=3z^2dz$ ;$x=z^3-1$ | $=$ $\frac {1}{2} \int \frac {3z^2}{1+z}$
$d(z^3-1)=3z^2$

Я сделал замену, но теперь я встал в тупик, как быть? И правильно ли я вообще решаю?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Ms-dos4]

desert_111
Правильно(только откуда там $\[\frac{1}{2}\]$ перед интегралом?). Разложите на простые дроби, далее интегрирование элементарно.

[desert_111]

Блин а ведь перед интегралом $\frac {1}{3}$, да?

[Ms-dos4]

desert_111
Откуда?

[Otta]

desert_111
Вопрос:
как в новых переменных выглядит интеграл $\int x\,dx$, если сделать в нем замену
а) $x=4z$
б) $x=z^4$.

[desert_111]

Otta в сообщении #847142 писал(а):

desert_111
Вопрос:
как в новых переменных выглядит интеграл $\int x\,dx$, если сделать в нем замену
а) $x=4z$
б) $x=z^4$.

б

-- 08.04.2014, 15:48 --

аа, мх

=3 $\int \frac {t^3+1-1}{1+t}dz$ = 3 $\int (t^2-t+1 - \frac {1}{1+t})dz$

так?

[Otta]

Так, только в дифференциале какая-то левая переменная. Или наоборот. Короче, переменная дбыть одна.

(Оффтоп)

Формулы в ТеХе не разрывайте.

[desert_111]

Смотрите, мне сказали что можно так, а правильно ли?
$ \int \frac {dx}{1+ \sqrt [3]{x+1}}=$ | $x+1=t^6;x=t^6-1;dx=6t^5 dt;t= \sqrt[6]{x+1}$|
$ 6 \int \frac {t^5 dt}{1+ \sqrt [3]{t^6}}=$ $6 \int \frac {t^5 dt}{1+t^2}$
$6 \int (t^3-t- \frac {t}{1+t^2})dt=$ $1.5t^4-3t^2-3\ln|1+t^2|=1.5 \sqrt [3]{(x+1)^2}-3 \sqrt [3]{x+1}-3 \ln| \sqrt [3]{x+1}+1|$

[Otta]

Вы так и будете метаться? а через полчаса Вам еще что-нить скажут. Дорешайте своим способом и сравните ответы.

[Ms-dos4]

desert_111
Во первых, ваш первоначальный способ не хуже
Во вторых, перед логарифмом не - а +, (т.е. когда вы выделяли целую часть из дроби, у вас перед $\[\frac{t}{{{t^2} + 1}}\]$ должен стоять +).

[ewert]

desert_111 в сообщении #847168 писал(а):

Смотрите, мне сказали что можно так, а правильно ли?
$ \int \frac {dx}{1+ \sqrt [3]{x+1}}=$ | $x+1=t^6;x=t^6-1;dx=6t^5 dt;t= \sqrt[6]{x+1}$|

правильно, конечно; только почему степень -- именно шестая, а не триста двадцать четвёртая?...

[desert_111]

В итоге вот так,
$ \int \frac{1}{1+(x+1)}^\frac {1}{3}dx=|x+1=y^3;x=y^3-1; dx=3y^2 dy| = \int \frac {3y^2 dy}{1+y}=\int \frac {3y+3}{y+1}-3dy=1,5 y^2+3 \ln(y+1)-3y+C; \int \frac {1}{1+x+1^\frac {1}{3}}dx=1,5(x+1)^\frac {2}{3}+3\ln(x+1+1)^\frac{1}{3}-3(1+x)^\frac {1}{3}+C$

Правильно? Мне кажется в ходе решения что-то не так

[ИСН]

Да, в ходе решения что-то не так, и вот что. Обычно ход решения таков: люди выводят буковки из предыдущих буковок по определённым правилам. А Вы переписываете их с отсыревших листков из бутылки, найденной в желудке акулы. Такой подход имеет свои минусы. Главный минус в том, что одни Вас не понимают, а другие понимают каждый раз по-разному. Вот что это за $1\over3$, висящая в воздухе?