2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 18:00 


26/11/13
29
Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Мне необходимо разобраться с геометрией Лобачевского.

1) Особенно интересует возможно ли и, если возможно, то как ввести координаты в n-мерное пространство Лобачевского. По псевдосфере и сфере видно, что они вложены в 3д.

2) Подозреваю, что это невозможно и надо использовать либо комплексные координаты, либо бо'льшие размерности. Как обстоит на самом деле?

3) Если как-то введутся координаты, то мне необходимо находить точки пересечения как-то заданной плоскости и как-то заданных прямых, проходящих через заданные точки.

4) Пример: как в координатах задать точку/линию/плоскость в 3хмерном пространстве Лобачевского?

5) Я где-то читал, что существующие модели плоскости Лобачевского передают только её часть, а не целиком. Решена ли эта проблема в пространствах с размерностью больше 2х, 3х?

6) Пока не нашёл подходящих книг, с чего следует начинать?

Могу спрашивать чушь, т.к. совсем не знаю этой темы, а в доступной литературе много слов про постулаты, но мало упорядоченного изложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Интересно, а что вы понимаете под словами "пространство Лобачевского"? Дать определение этого пространства вас не затруднит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Brukvalub
А что, есть какие-то варианты?

    (Оффтоп)

    $n$-мерным пространством Лобачевского (в 3-мерном случае - просто пространством Лобачевского) назовём связную компоненту псевдосферы действительного ненулевого радиуса в $(1,n)$-псевдоевклидовом пространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Есть проблемы... Есть аксиоматическое определение ПЛ, есть множество его моделей, есть и странности в запросе ТС, чего стОит одно лишь заявление:
"Я где-то читал, что существующие модели плоскости Лобачевского передают только её часть, а не целиком. Решена ли эта проблема в пространствах с размерностью больше 2х, 3х?" :D
Хорошо бы сначала разобраться, кто и зачем к нам зашел, а уж потом начать всерьез консультировать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Brukvalub в сообщении #846823 писал(а):
Есть аксиоматическое определение ПЛ

Где ПЛ - плоскость Лобачевского? Ну, проблема тут тогда в том, что для каждой следующей размерности приходится лепить новую аксиоматику, или формулировать её сразу в обобщённом виде.

Brukvalub в сообщении #846823 писал(а):
есть множество его моделей

Какая разница, какую модель использовать? Геометрия самого пространства Лобачевского при этом остаётся одна и та же (факты геометрии, типа пересечения или непересения прямых, метрические соотношения и т. п.).

    (Оффтоп)

    Я тоже, честно говоря, назвал модель. Не знаю, как лучше сформулировать.

Brukvalub в сообщении #846823 писал(а):
Хорошо бы сначала разобраться, кто и зачем к нам зашел, а уж потом начать всерьез консультировать...

Это можно.

Yorick в сообщении #846804 писал(а):
Пока не нашёл подходящих книг, с чего следует начинать?

Геометрия Лобачевского в современной математике - не такая большая цаца, чтобы посвящать ей одной целую книгу. Это всего лишь одно из многих возможных пространств, изучаемых современной геометрией. Вот геометрия (как раздел математики) - штука большая, и не помещается в одну книгу.

Геометрию Лобачевского можно начать изучать уже с точки зрения аналитической геометрии (аналогично сферической геометрии), но наиболее естественно её рассматривать в курсе дифференциальной геометрии. Кроме того, в физике геометрия Лобачевского возникает как побочный результат в специальной теории относительности (СТО), после построения псевдоевклидова пространства-времени. В зависимости от того, с какой стороны вы с этим понятием столкнулись, или с какой стороны хотите зайти, и какой у вас background, и будет различаться рекомендуемая литература.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Есть брошюрка «Геометрия Лобачевского» В.В. Прасолова и есть учебник «Геометрия» Прасолова, Тихомирова, где геометрии Лобачевского посвящена одна глава (учебник является основным в курсе «Геометрия-I» НМУ и ВШЭ), сам я их периодически пытаюсь разбирать с переменным успехом. Советовать не буду, так как не разбираюсь, просто хочу оповестить о существовании.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Тогда уточню: книги по геометрии Лобачевского есть, но я их читать не рекомендую. Намного проще и эффективней разобраться с ней с общих позиций.

(Оффтоп)

Мне в своё время для удовлетворения любознательности хватило статьи в Математической Энциклопедии. Тогда я достаточно понял про "аксиоматическую геометрию Лобачевского", а потом уже выяснил, что не в ней счастье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 20:13 


26/11/13
29
Бэкграунд - три курса технического вуза.

На двумерной сфере - ясно как задать координаты точки, как двигать, на трёхмерной - тоже более-менее ясно.

Цель - понять как задаются и проецируются простейшие геометрические объекты и написать программу, то есть
Моделирование сферы Пуанкаре на компьютере.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Простите, а какое отношение (хоть малейшее) имеет сфера Пуанкаре к геометрии Лобачевского?

В общем, вам нужны учебники по дифференциальной геометрии. И читать их с самого начала.

Если вы не проходили в вашем техническом вузе тензоров и тензорного анализа - сначала их, потом дифгем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12499
Yorick в сообщении #846804 писал(а):
возможно ли и, если возможно, то как ввести координаты в n-мерное пространство Лобачевского. По псевдосфере и сфере видно, что они вложены в 3д.

Возможно, конечно. Там коразмерность везде 1 (как тупое следствие максимальной симметрии). Только вместо сфер кое-где придётся рассмотреть псевдосферы. Но это ерунда, тривиальная с точностью до замены круговых функций на гиперболические.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #846893 писал(а):
Там коразмерность везде 1 (как тупое следствие максимальной симметрии).

Ой, а это как? А 2 уже нельзя?


    (Оффтоп)

    Утундрий в сообщении #846893 писал(а):
    ерунда, тривиальная с точностью до замены круговых функций на

    квадратовые...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12499
Munin в сообщении #846934 писал(а):
А 2 уже нельзя?

Ну... Можно, наверное, только зачем? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #846935 писал(а):
Можно, наверное, только зачем? :shock:

Ну, хотя бы затем, чтобы вы не утверждали лишнего. "Всегда можно 1" и "всегда 1" - вещи разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12499
Munin в сообщении #846939 писал(а):
"Всегда можно 1" и "всегда 1" - вещи разные.

Ну да, однако, в свете
Yorick в сообщении #846804 писал(а):
Особенно интересует возможно ли

это однокорнеплодственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия Лобачевского.
Сообщение07.04.2014, 22:22 


20/12/09
1527
Yorick в сообщении #846804 писал(а):
если возможно, то как ввести координаты


Координаты в пространстве - это локальное отображение на область в евклидовом пространстве.
Если Вы не накладываете какие-то требования на это отображение,
то координаты могут быть введены произвольно.

Я не согласен, что геометрия Лобачевского малоинтересна.
Реально существуют только три геометрии: Лобачевского, Евклида и геометрия на сфере.
Каждая из них отличается своими замечательными свойствами.

Munin написал выше про более общий и интересный, например, для физики, случай,
но этот общий случай не допускает движений и симметрий, которые могут быть интересны математикам.

К сожалению, не могу рекомендовать какую-либо литературу,
сам я ничего не читал.

Кстати, предлагаю задачу - показать, что на компактных 2-мерных многообразиях возможны только такие геометрии:
- сфера,
- бублик - тор с Евклидовой геометрией,
- кренделя с количеством ручек от 2-х и выше с геометрией Лобачевского.

Еще есть интересный факт - в пространстве Лобачевского или на сфере
орбиты планет тоже эллипсы. Наш 1-ый закон Кеплера - это частный случай для кривизны = 0.

-- Пн апр 07, 2014 22:40:05 --

Yorick в сообщении #846855 писал(а):
Моделирование сферы Пуанкаре на компьютере.


Я не знаю, что такое сфера Пуанкаре (какая-то штука в физике).

Но для геометрии Лобачевского есть модель Пуанкаре на круге.

Вы уверены, что Вам надо моделировать именно сферу Пуанкаре, а не круг Пуанкаре?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group