Сместится ли центр тяжести рельсы?

[Андрей123]

Volodya писал(а):

Закон сохранения импульса

$$\sum_{i=1}^{n}\vec{p}_i=\overrightarrow{const}$$

$$\vec{p}_i=m_i\vec{v}_i, i=1..n$$

Тут рассмотрены частицы, как точки нулевого размера с массами

$$m_i$$

и скоростями

$$\vec{v}_i$$

. То есть, в законе сохранения импульса инерция поворота точки принята = 0.

Отсюда следует, что закон сохранения импульса применим для задач, в которых соударения не приводят к поворотам, но не применим для задач, в которых соударения приводят к поворотам, так как известно, что в реальности объекты не являются точками нулевого размера, а значит обладают не нулевой инерцией поворота, которую закон сохранения импульса не учитывает.

$v_{i}$ -полная скорость точки. В случае сплошного тела вместо суммы будет интеграл по объёму. Закон сохранения импульса применим для любых замкунутых систем. В случае с маятниками на них ещё и действуют реакции подвеса, различные в обоих случаях.

[Volodya]

Андрей123, спасибо.

Интеграл по объёму позволяет вычислить импульс объёмного тела. Но опять же, закон сохранения импульса с использованием интеграла по объёму от функции распределения импульса по объёму не учитывает инерцию поворота объёмного тела.

Существует закон сохранения энергии, закон сохранения момента импульса и закон сохранения импульса.


Для разгона шара затратили энергию E.


В случае (1'), после столкновения рельсы и шара, согласно закону сохранения энергии, система состоящая из склеинных рельсы и шара обладает суммарным моментом импульса M1, Energy(M1) = 0, и суммарным импульсом P1, Energy(P1) = E;

Energy - функция показывающая количество энергии затраченной для создания импульса или момента импульса.

Согласно закону сохранения энергии, E = Energy(P1) + Energy(M1);

В случае (2'), после столкновения рельсы и шара, согласно закону сохранения энергии, система состоящая из склеинных рельсы и шара обладает суммарным моментом импульса M2, Energy(M2) > 0, и суммарным импульсом P2, Energy(P2) = E - Energy(M2);


Согласно закону сохранения энергии, E = Energy(P2) + Energy(M2);


То есть, в случае (2'), согласно закону сохранения энергии, закону сохранения импульса и закону сохранения момента импульса, энергия E раскладывается на Energy(P2) и Energy(M2); Energy(P2) > 0; Energy(M2) > 0;


Из

E = Energy(P1);
E = Energy(P2) + Energy(M2);

=> E - Energy(M2) = Energy(P2) < Energy(P1) = E; Energy(P2) < Energy(P1) =>

скорость центра тяжести вращающейся рельсы меньше скорости центра тяжести не вращающейся рельсы.


Выводы:

1. Закон сохранения импульса применим только для задач, в которых соударения частиц не приводят к поворотам. Если же при соударениях возникают повороты, то для решения таких задач нужно применять одновременно закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса и закон сохранения энергии.

2. Существование инерциоидов (устройств смещающих центр тяжести без внешней опоры) - научно доказанный факт.

[Someone]

Volodya писал(а):

Существование инерциоидов (устройств смещающих центр тяжести без внешней опоры) - научно доказанный факт.

Предъявите, пожалуйста, работающее устройство. Не схему, не всякие рассуждения, а именно устройство, движущееся без опоры.

[Someone]

Volodya писал(а):

Для разгона шара затратили энергию E.


В случае (1'), после столкновения рельсы и шара, согласно закону сохранения энергии, система состоящая из склеинных рельсы и шара обладает суммарным моментом импульса M1, Energy(M1) = 0, и суммарным импульсом P1, Energy(P1) = E;

Energy - функция показывающая количество энергии затраченной для создания импульса или момента импульса.

Согласно закону сохранения энергии, E = Energy(P1) + Energy(M1)

Столкновение у Вас неупругое (рельс и шар склеились), поэтому часть энергии неизбежно перешла в тепло. Поэтому последнее равенство выполняться не будет.

[Volodya]

Большое спасибо, уважаемый друг Someone!

Уважаемый Someone своим замечанием опроверг истинность закона сохранения импульса. Ведь, оказывается, суммарный импульс замкнутой системы не остаётся константой, а изменяется, как минимум, на величину пропорциональную выделившемуся теплу при столкновениях частиц системы. Уважаемый друг Someone только что доказал существование инерциоидов работающих на принципе тепловыделений.


Учитывая замечание Someone, уравнения разложения энергии примут следующий вид

Ep1 = Energy(P1);
Em1 = Energy(M1);
Ep2 = Energy(P2);
Em2 = Energy(M2);


E = Ep1 + Em1 + Q1; Ep1 > 0; Em1 = 0; Q1 > 0;

E = Ep2 + Em2 + Q2; Ep2 > 0; Em2 > 0; Q2 > 0;


Q1 - количество тепла выделившееся при столкновении рельсы и шарика в случае (1');
Q2 - количество тепла выделившееся при столкновении рельсы и шарика в случае (2');


Рассмотрим условия, при которых закон сохранения импульса выполняется

Ep1 = Ep2; Q1 = 0; Q2 = 0;

(если бы Q1 > 0, Q2 > 0, то после столкновения шариков и рельс, как минимум, суммарный импульс систем изменился бы на величины пропорциональные Q1 и Q2, что приводит к нарушению закона сохранения импульса)

=>

Ep1 = E - Q1;
Ep2 = E - Q2 - Em2;

E - Q1 = E - Q2 - Em2;

Em2 = Q1 - Q2;


Q1 = 0; Q2 = 0;

=>

Em2 = 0;


Я провёл опыт и убедился, что Em2 > 0 всегда => закон сохранения импульса при столкновениях, на практике, не выполняется всегда. То есть, центры тяжестей замкнутых систем, на практике, постоянно смещаются без внешней опоры.

Получается... Кругом инерциоиды! Они повсюду! Куда их предъявить? И даже Солнце, которое нам светит - гигантский инерциоид!

[Someone]

Volodya писал(а):

Большое спасибо, уважаемый друг Someone!

Всегда рад услужить.

Volodya писал(а):

Уважаемый Someone своим замечанием опроверг истинность закона сохранения импульса. Ведь, оказывается, суммарный импульс замкнутой системы не остаётся константой, а изменяется, как минимум, на величину пропорциональную выделившемуся теплу при столкновениях частиц системы.

Не пишите чушь. То, что я писал, всего лишь означает, что закон сохранения энергии нельзя использовать в решении Вашей задачи, так как механическая энергия частично переходит в тепло. Использовать можно только законы сохранения импульса и момента импульса. Вы это не умеете? Судя по той ерунде, которую Вы далее понаписали, даже не имеете понятия, как такие задачи решаются.

Ну, пусть у нас рельс лежит на оси $Ox$, занимая отрезок $\left[-\frac l2,\frac l2\right]$. Масса рельса равна $m_0$, момент инерции относительно центра тяжести, расположенного в начале координат, будет равен $J_0=\frac{m_0l^2}{12}$. Шарик массы $m_1$ движется со скоростью $v_1$ вдоль прямой $x=x_1$ (считаем, естественно, что $|x_1|\leqslant\frac l2$).
Ударившись в рельс, шарик прилипает к рельсу, и далее они движутся вместе. Это составное тело имеет массу $m_0+m_1$, центр тяжести в точке $x_c=\frac{m_1x_1}{m_0+m_1}$ и момент инерции относительно центра тяжести $J_c=J_0+m_0x_c^2+m_1(x_1-x_c)^2$. Пусть при этом центр тяжести движется со скоростью $v_c$, а рельс (с прилипшим шариком) вращается с угловой скоростью $\omega$.
До удара система двух тел имеет импульс $m_1v_1$ и момент импульса $m_1v_1(x_1-x_c)$. После удара составное тело будет иметь импульс $(m_0+m_1)v_c$ и момент импульса $J_c\omega$. Приравнивая эти величины, получим систему уравнений

$$\begin{cases}m_1v_1=(m_0+m_1)v_c\text{,}\\ m_1v_1(x_1-x_c)=J_c\omega\text{,}\end{cases}$$

из которой находим

$$\begin{cases}v_c=\frac{m_1v_1}{m_0+m_1}\text{,}\\ \omega=\frac{m_1v_1(x_1-x_c)}{J_c}=\frac{12m_1v_1x_1}{(m_0+m_1)l^2+12m_1x_1^2}\text{.}\end{cases}$$

В частности, из первого выражения видно, что скорость движения центра тяжести составной системы не зависит от точки рельса, к которой прилип шарик.

Найдём движение центра тяжести системы двух тел до удара. Будем считать, что удар был в момент времени $t=0$. Тогда до удара в момент времени $t<0$ шарик находился в точке $(x_1,v_1t)$. Так как центр тяжести рельса был в точке $(0,0)$, по известной формуле находим центр тяжести системы: $\left(\frac{m_1x_1}{m_0+m_1},\frac{m_1v_1t}{m_0+m_1}\right)=(x_c,v_ct)$. Отсюда видно, что до удара центр тяжести системы двух тел двигался с той же скоростью $v_c$, что и после удара.

До удара кинетическая энергия системы совпадает с кинетической энергией шарика $T_1=\frac{m_1v_1^2}2$, а после удара кинетическую энергию можно представить суммой двух величин: $T_c=\frac{(m_0+m_1)v_c^2}2$ - кинетическая энергия, связанная с движением центра масс составного тела, $T_{\omega}=\frac{J_c\omega^2}2$ - кинетическая энергия, связанная с вращением составного тела вокруг его центра масс.
Величина механической энергии, которая переходит в тепло в момент удара, равна

$$Q=T_1-(T_c+T_{\omega})=\frac{m_1v_1^2}2-\left(\frac{(m_0+m_1)v_c^2}2+\frac{J_c\omega^2}2\right)=\frac{m_0m_1v_1^2l^2}{2\left((m_0+m_1)l^2+12m_1x_1^2\right)}>0\text{.}$$

Наибольшая потеря механической энергии происходит, если шарик ударяется в центр рельса ($x_1=0$), наименьшая - если в конец ($x_1=\pm\frac l2$).

[Volodya]

Спасибо большое, уважаемый друг Someone!

Моя ошибка заключалась в том, что я написал Em1 = 0. Согласно закону сохранения момента импульса Em1 = Em2 > 0.

Момент импульса системы из шарика и рельсы до столкновения рельсы и шарика летящего в край рельсы не равен 0. А шарика летящего в центр масс рельсы равен 0.

Закон сохранения момента импульса утверждает, что момент импульса замкнутой системы остаётся постоянным.

Закон сохранения импульса утверждает, что импульс замкнутой системы остаётся постоянным.

Мне не очевидно, что часть импульса не может переходить в момент импульса и обратно. Размышляю, как доказать,что импульс и момент импульса несвязаны. Где-нибудь такое доказательство в физике приводится?

[Андрей123]

Volodya писал(а):

Мне не очевидно, что часть импульса не может переходить в момент импульса и обратно. Размышляю, как доказать,что импульс и момент импульса несвязаны. Где-нибудь такое доказательство в физике приводится?

Импульс и момент импульса это разные вектора. Что Вы понимаете под словом несвязаны. Изменение импульса может повлечь за собой изменение момента импульса, а может и не повлечь и наоборот. Простейший пример с той же рельсой, в первом случае,когда сила приложена к краю рельсы изменяется как импульс, так и момент импульса системы относительно центра масс; когда сила приложена к центру масс рельсы, изменяется только импульс рельсы; и, наконец, когда к концам рельсы приложены две равные по модулю и противоположные по направлению силы, момент импульса системы относительно центра масс изменится, а импульс системы-нет.

[Volodya]

Замкнутая система обладает моментом импульса и импульсом. Под их несвязанностью я подразумевал, что не может уменьшиться импульс замкнутой системы, увеличив момент импульса, и наоборот.

Из 3-го закона Ньютона очевиден закон сохранения энергии. Но, как доказать, что из 3-го закона Ньютона следуют законы сохранения импульса и момента импульса? Об этом думаю.

[Андрей123]

Volodya писал(а):

Из 3-го закона Ньютона очевиден закон сохранения энергии.

Напишите доказательство.

Volodya писал(а):

Но, как доказать, что из 3-го закона Ньютона следуют законы сохранения импульса и момента импульса? Об этом думаю.

Рассмотрим замкнутую систему из n точек.Т.к. внешних сил нет, из второго закона Ньютона получаем $m_i x_i''=\sum\limits_{i<>j}^n F_{ij}$. Где $F_{ij}$, сила действующая со стороны j-ой точки на i-ую. Складывая полученные равенства и, учитывая, что $F_{ij}=-F_{ji}$, получаем $\sum\limits_{i=1}^n m_i x_i''=0$ или $\sum\limits_{i=1}^n m_i x_i'=const$. С моментом импульса попробуйте сами.

[Volodya]

Спасибо большое, Андрей123.

Меня посещают мысли, что приведённое Вами доказательство и аналогичное доказательство закона сохранения момента импульса не являются обобщёнными на любые виды столкновений между частицами замкнутой системы. 2-й и 3-й законы Ньютона описывают столкновения точек, которыми показаны центры масс частиц без учёта инерции поворота частиц и динамики возникающих во времени центробежных и центростремительных сил. Мне здесь не очевидно, что ненулевая инерция вращения частиц при нелобовых столкновениях не влияет на импульс частиц.

Если $F_{ij} = m_i\vec{a_i}, i<>j, F_{ij}=-F{ji}$ всегда истина, при любых столкновениях, то механических инерциоидов не существует.

Но у меня есть большие подозрения, что учёт инерции поворота частиц и их прецессии, в некоторых случаях, может привести к нарушению 2-го закона Ньютона из-за перехода части импульса в момент импульса и обратно.

Я задумался, можно ли сформулировать обобщённое доказательство закона сохранения импульса и момента импульса на произвольные виды столкновений? У замкнутой системы состоящей из прецессирующего гироскопа момент импульса является константой?

[Someone]

Volodya писал(а):

Моя ошибка заключалась в том, что я написал Em1 = 0. Согласно закону сохранения момента импульса Em1 = Em2 > 0.

Нет. Я уже объяснял, что Ваша ошибка состоит в том, что Вы пытаетесь применить закон сохранения механической энергии в ситуации, когда механическая энергия заведомо не сохраняется, так как часть её превращается в тепловую. Кроме того, Вы почему-то воображаете, что существует однозначная связь между энергией и импульсом или моментом импульса. Это так для одной частицы (точнее, кинетическую энергию твёрдого тела можно разбить на две части, одна из которых связана с движением центра масс тела, а другая - с вращением тела вокруг центра масс; я это использовал в своих вычислениях), но уже совсем не так для двух частиц. Кроме того, энергия не может переходить в импульс или момент импульса, или наоборот.

Volodya писал(а):

Но у меня есть большие подозрения, что учёт инерции поворота частиц и их прецессии, в некоторых случаях, может привести к нарушению 2-го закона Ньютона из-за перехода части импульса в момент импульса и обратно.

Ваши подозрения, по-моему, основаны исключительно на непонимании того, что Вам написал Андрей123. В его доказательстве наличие момента инерции (то, что Вы называете инерцией поворота) у частиц не играет абсолютно никакой роли. Существенным является только то, что частицы (тела) взаимодействуют непосредственно, без посредника. Если они взаимодействуют через посредство чего-нибудь (например, через электромагнитное поле), то в законах сохранения нужно учитывать этого посредника.
Импульс и момент импульса не могут переходить друг в друга, это существенно разные величины. Они имеют разную размерность. Они никак не связаны друг с другом даже для одной частицы, не говоря уже о системе из нескольких частиц.

В современной физике закон сохранения импульса выводится из того, что пространство везде (во всех точках) одинаковое, а закон сохранения момента импульса - из того, что пространство одинаковое во всех направлениях. Никаких ссылок на законы Ньютона при этом не требуется. И детали взаимодействия внутри системы тоже никакой роли не играют.

Ну постройте, наконец, свой инерциоид, и посмотрите, что из этого получится. Сколько можно заниматься пустыми "сомнениями"? Законы Ньютона непрерывно проверяются более трёхсот лет. Рассуждениями и "сомнениями" их опровергнуть нельзя, это пустой разговор. Ну, выскажете Вы в двадцатый или в сто двадцатый раз свои сомнения, Вам в очередной раз повторят одни и те же объяснения, и что? Единственный способ опровергнуть законы Ньютона и следующие из них законы сохранения - это построить механическое устройство, их нарушающее.

[Volodya]

Someone писал(а):

В его доказательстве наличие момента инерции (то, что Вы называете инерцией поворота) у частиц не играет абсолютно никакой роли.

Это Ваше личное мнение или Вы можете это доказать?

Someone писал(а):

В современной физике закон сохранения импульса выводится из того, что пространство везде (во всех точках) одинаковое, а закон сохранения момента импульса - из того, что пространство одинаковое во всех направлениях.

И как там учтены центробежные и центростремительные силы во времени? Или время там выбросили, как несущественный параметр?

Someone писал(а):

Ну постройте, наконец, свой инерциоид, и посмотрите, что из этого получится.

Строительство требует понимания того, что строишь. Или Вы сторонник строить, а потом думать?


Например, если рассмотреть замкнутую систему состоящую из прецессирующего гироскопа, то для центра масс такой системы выполняется закон сохранения импульса?

[Someone]

Volodya писал(а):

Someone писал(а):

В его доказательстве наличие момента инерции (то, что Вы называете инерцией поворота) у частиц не играет абсолютно никакой роли.

Это Ваше личное мнение или Вы можете это доказать?

Я профессиональный математик. Как математик, я вижу, что Андрей123 написал корректный вывод закона сохранения импульса из законов Ньютона. В этом выводе ничего не пропущено. Вас смущает, что вывод очень простой? Вам хотелось бы видеть текст объёмом 50000 страниц? Займитесь классификацией конечных простых групп.

Что касается Вас, то Вы тоже могли бы поднапрячься, разобраться в этих трёх строчках и убедиться, что там не используется ничего, кроме законов Ньютона. Если Вы с законами Ньютона согласны, то должны согласиться и с законом сохранения импульса. Если Вы с выводом несогласны, придётся забыть про механику Ньютона и искать нарушения законов сохранения опытным путём.

Volodya писал(а):

Someone писал(а):

В современной физике закон сохранения импульса выводится из того, что пространство везде (во всех точках) одинаковое, а закон сохранения момента импульса - из того, что пространство одинаковое во всех направлениях.

И как там учтены центробежные и центростремительные силы во времени? Или время там выбросили, как несущественный параметр?

Вы считаете профессиональных физиков и математиков полными идиотами? И в каком смысле будет сохраняться импульс, если не будет времени?
Это общая теорема: если пространство всюду одинаковое (говорят: однородное), то сохраняется полный импульс замкнутой системы. Что происходит внутри неё - абсолютно неважно. Это теорема Э.Нётер. Она формулируется не совсем так, как я написал, но если хотите в этом разбираться, придётся углубляться в достаточно сложную математику.

Volodya писал(а):

Someone писал(а):

Ну постройте, наконец, свой инерциоид, и посмотрите, что из этого получится.

Строительство требует понимания того, что строишь. Или Вы сторонник строить, а потом думать?

Ну почему же? Подумать надо. Например, что люди потратили столетия на разработку всяких вечных двигателей и безопорных движителей. И что результат всех этих усилий строго равен нулю. Точнее, не нулю: именно эти бесплодные усилия послужили причиной формулировки законов сохранения. И законы Ньютона не придуманы им на пустом месте, они обобщают как результаты большого количества экспериментов, так и многовековой опыт человечества. А Вы чуть-чуть шагнули на этот путь. Сколько столетий Вам потребуется, чтобы повторить массу уже осуществлённых бесплодных попыток и понять, что занимаетесь ерундой?

Volodya писал(а):

Например, если рассмотреть замкнутую систему состоящую из прецессирующего гироскопа, то для центра масс такой системы выполняется закон сохранения импульса?

Люди занимаются гироскопами (волчками) также не одно столетие. Никто не сталкивался с нарушениями законов сохранения при прецессии гироскопа. Напротив, эта прецессия выводится из теории, основанной на законах Ньютона и, следовательно, все законы сохранения автоматически выполняются. Если не согласны - стройте модель и пытайтесь обнаружить нарушения закона сохранения импульса.

[Volodya]

Someone писал(а):

Я профессиональный математик.

Это замечательно! Математику я тоже люблю.

К математическому выводу Андрея из 2-го и 3-го закона Ньютона закона сохранения импульса у меня притензий нет.

Но у меня были сомнения, что 2-й закон Ньютона истинен всегда. 2-й закон Ньютона рассматривает столкновения частиц без учёта инерции поворота частиц. Точки и объёмные твёрдые 3-х мерные тела - не одно и то же.


Посмотрел я теорему Э.Нётер.

Цитата:

Всякому непрерывному преобразованию координат и обусловленному им или же заданному независимо от него преобразованию функций поля, обращающим в нуль вариацию действия, соответствует определенная совокупность инвариантов - сохраняющихся комбинаций функций поля и их производных. Число этих инвариантов равно числу независимых параметров, определяющих данное преобразование.

Вкратце, физический смысл вариации действия - работа A по перемещению всех точек системы из положения 1 в положение 2. 2 является поворотом и сдвигом 1 (вместе с векторами скоростей). По условию теоремы A = 0 => сумма внутренних сил = 0. А отсюда следуют законы сохранения импульса и момента импульса.

Вкратце, физический смысл вариации действия - работа A по перемещению всех точек системы из положения 1 в положение 2, что попарные расстояния между точками сохраняются и векторы скоростей точек тоже. По условию теоремы A = 0 => сумма внутренних сил = 0. А отсюда следуют законы сохранения импульса и момента импульса.

Из обобщённого доказательства законов сохранения импульса и момента импульса следует, что в однородном и изотропном пространстве инерциоидов несуществует.

Браво Someone!


Другой вопрос, всегда ли в реальности пространство однородно и изотропно? Взять, хотя бы, искривления пространства-времени... Но это уже отдельный вопрос, выходящий за рамки классической механики Ньютона.

По данной теме: центры масс не вращающейся рельсы в случае (1') и вращающейся в случае (2') в однородном и изотропном пространстве будут иметь одинаковые скорости.