уравнения Лагранжа второго рода

[Oleg Zubelevich]

Еще о пикантных особенностях курсов механики для физиков. Случайно обнаружил, что в ЛЛ-1 отсутствуют уравнения Лагранжа вида

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot q^j}-\frac{\partial T}{\partial q^j}=Q_j$$

соответственно нет и определения обобщенной силы

$$Q_j=\sum_{k=1}^N\Big(\frac{\partial \overline r_k}{\partial q_j},\overline F_k\Big)$$

[nikvic]

Это естественно для теорфизиков: все силы там потенциальны
Я бы даже сказал эвентуальны.

[warlock66613]

Я думаю я не один такой (правда я не физик, но интересующийся), кто испывает неприятные физические ощущения, даже чувство физического недомогания, когда смотрит на эти "уравнения Лагранжа второго сорта".

[Oleg Zubelevich]

это от недопонимания

[Nirowulf]

warlock66613 в сообщении #754313 писал(а):

Я думаю я не один такой (правда я не физик, но интересующийся), кто испывает неприятные физические ощущения, даже чувство физического недомогания, когда смотрит на эти "уравнения Лагранжа второго сорта".

Я такой же

Oleg Zubelevich
А, вообще, да. Л-Л 1 заточен под теорфизику, поэтому там всех этих штучек нету. Хотя определение обобщённой силы там есть, но не в таком виде как у вас. См. самый конец параграфа 7, формула (7.6) по изданию 1988 года.

Есть книжка Ольховского "Курс теоретической механики для физиков", там есть и обобщённые силы в том виде, в котором написано ваше определение, и уравнения Лагранжа второго рода. См. параграф 5.4, формулы (5.41) и (5.44) издание 1978 года.

В курсе теормеха физфака СПБГУ, например, всё это рассказывается, так как книжка Ольховского взята за основу.

[Munin]

nikvic в сообщении #754119 писал(а):

Это естественно для теорфизиков: все силы там потенциальны

Ну, не все. Но грести до непотенциальных сил всё-таки очень далеко: в первый раз они эпизодически возникают в магнитном поле, а во второй - только в очень продвинутой теории поля. И всё равно обходятся обычными уравнениями Лагранжа, только сами лагранжианы становятся необычными.

Nirowulf в сообщении #835571 писал(а):

Oleg Zubelevich
А, вообще, да. Л-Л 1 заточен под теорфизику, поэтому там всех этих штучек нету.

Ему это говорили много раз, он продолжает игнорировать.

[Oleg Zubelevich]

приведу в качестве примера пару задач на уравнения Лагранжа второго рода:

[Munin]

Угу, типичная "механика калабашек", с теорфизикой не имеющая ничего общего.

[Sicker]

(Оффтоп)

Zubelevich не угомонится

[Deggial]

Oleg Zubelevich, замечание за бессодержательное сообщение. Отделено

[Oleg Zubelevich]

обнаружил, что в ЛЛ-1 нет теоремы Нетер и теоремы Пуанкаре о возвращении. Эти вопросы тоже видимо

Munin в сообщении #835736 писал(а):

с теорфизикой не имеющая ничего общего.

[Munin]

Теорема Нётер во 2 томе, теорема о возвращении в 5 томе.

[Oleg Zubelevich]

это што ли теорема Пуанкаре?:

[Nirowulf]

Oleg Zubelevich в сообщении #837772 писал(а):

обнаружил, что в ЛЛ-1 нет теоремы Нетер

Да, вроде как, теорема Нетёр в ЛЛ 1 используется 3 раза: глава 2, параграфы 6, 7 и 9, соответственно. Просто она не формулируется в общем виде, и нигде не произносится таких слов "теорема Нетёр". У меня есть такое подозрение, что это от того, что Ландау недолюбливал женщин в науке.

Поэтому для восполнения этого недостатка надо после этих прочтения первых двух глав ЛЛ 1, надо прочесть параграф о теореме Нетёр у Боголюбова-Ширкова во "Введении".

Опять же напомню о книжке Ольховского по теормеху, которая написана специально для физиков. Там в приложении к главе 9 есть теорема Нетёр.

Ну, а теорема Пуанкаре о возвращении. Время релаксации для разумных физических систем может достигать всяких там миллионов лет. Поправьте, если я не прав, честно скажу, что я недостаточно компетентен в этом вопросе.

[Nirowulf]

Oleg Zubelevich в сообщении #754104 писал(а):

Еще о пикантных особенностях курсов механики для физиков. Случайно обнаружил, что в ЛЛ-1 отсутствуют уравнения Лагранжа вида

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot q^j}-\frac{\partial T}{\partial q^j}=Q_j$$

соответственно нет и определения обобщенной силы

$$Q_j=\sum_{k=1}^N\Big(\frac{\partial \overline r_k}{\partial q_j},\overline F_k\Big)$$

Вернёмся к изначальному вопросу темы. Уравнения 2 рода легко выводятся из того, что изложено в ЛЛ 1.

Пускай, у нас есть стандартный механический лагранжиан

$$L=T(q_i,\dot q_i)-U(q_i)$$

Напишем уравнения Эйлера-Лагранжа:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$$

Подставим наш лагранжиан в уравнение. Учитывая, что

$$\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}=\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}$$

$$\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{\partial T}{\partial q_i} - \frac{\partial U}{\partial q_i}$$

Имеем

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i} + \frac{\partial U}{\partial q_i}=0$$

Переносим член с U в правую часть:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=- \frac{\partial U}{\partial q_i} (1)$$

Если выразить $U$ не через $q$, а через $\overline r$, то

$$\frac{\partial U}{\partial q_i}$$

распишется как

$$\frac{\partial U}{\partial q_i}=\frac{\partial U}{\partial \overline r_k}\frac{\partial \overline r_k}{\partial q_i}$$

По повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
Вспоминая определение силы

$$\overline F_k=-\frac{\partial U}{\partial \overline r_k},$$

получим

$$\frac{\partial U}{\partial q_i}=-\overline F_k \frac{\partial \overline r_k}{\partial q_i}=-Q_i.$$

Подставляя это в (1), получаем окончательный результат:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=Q_i.$$