Есть ли у константы pi комбинаторно вероятностный смысл?

[vicvolf]

Cash в сообщении #832511 писал(а):

Известная задача. В нестрогой формулировке звучит так: вероятность того, что два наугад выбранных натуральных числа будут взаимно простыми равна $\frac6{\pi^2}$

Весьма нестрогое доказательство:
Пусть эта вероятность равна $p$. Тогда вероятность того, что $\gcd(m,n)=d$ равна вероятности одновременного выполнения трех независимых событий: $m$ кратно $d$, $n$ кратно $d$, а также $\gcd(\frac md,\frac nd)=1$. То есть равна $\frac p{d^2}$. Суммируя по всем $d$ получаем:
$1 = p(1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2} + \ldots)$

Это гипотеза или имеется строгое доказательство?

-- 04.03.2014, 21:44 --

Gobino в сообщении #832616 писал(а):

В свете того что мне удалось преобразовать выражение для $\pi$ к комбинаторному виду $\pi={(\frac{2^N}{N})}^2C_N^\frac{N}{2}C_{N-1}^\frac{N-1}{2}$,

Слева число иррациональное, а справа рациональное.

[Gobino]

Присмотритесь повнимательней и прочтите переформулированный вопрос еще раз. В обеих частях иррациональное трансцендентное число, потому как одно из сочетаний будет выражаться всегда трансцендентной гамма функцией.

[Cash]

Сомневаюсь, что в комбинаторике при работе с конечными объектами могут всплыть трансцендентные числа. Для их появления придется идти на бесконечность. Хотя, я здесь не специалист и мало ли...

vicvolf в сообщении #832740 писал(а):

Это гипотеза или имеется строгое доказательство?

Это утверждение первым (по Кнуту) высказал Дирихле, также есть его альтернативная формулировка, известная как задача Чебышёва о несократимой дроби. Имеется, конечно, и строгое доказательство, но для этого неплохо бы и саму задачу более строго сформулировать.

-- Ср мар 05, 2014 10:47:07 --

Gobino в сообщении #832616 писал(а):

В свете того что мне удалось преобразовать выражение для $\pi$ к комбинаторному виду $\pi={(\frac{2^N}{N})}^2C_N^\frac{N}{2}C_{N-1}^\frac{N-1}{2}$, попробую переформулировать вопрос. Имеет ли комбинаторный смысл сочетание из целого по дробному?

Всегда можно через гамма-функцию определить всякие штуки типа $C_{50}^\frac{35}{2}$, но это будет чистейший формализм. Без придания этому определению "физического" смысла - толку в этом ноль. А чтобы получить смысл, надо каким-то образом в конечном объекте получить трансцендентность. Как уже говорил выше, я считаю это бесперспективным занятием.

[Gobino]

Наконец- то Вы вникли в суть вопроса, я как раз и ищу как Вы выразились "физический смысл" данного выражения. Но в отличии от Вас не считаю это дело безнадежным. Другой вопрос, что этот смысл возможно действительно находится не в области комбинаторики в современном ее понимании. У меня даже есть предположения по поводу этого смысла - это отображение элемента множества на все множество и наоборот. Вопрос в том как это выразить геометрически или физически.

[vicvolf]

Cash в сообщении #832900 писал(а):

Это утверждение первым (по Кнуту) высказал Дирихле, также есть его альтернативная формулировка, известная как задача Чебышёва о несократимой дроби. Имеется, конечно, и строгое доказательство, но для этого неплохо бы и саму задачу более строго сформулировать.

Кстати это уже было на форуме topic3761.html

[Cash]

(Оффтоп)

В той теме какой-то бред идёт. А в книге Жукова - тоже "рассуждения на пальцах", впрочем вполне уместные в книге для старшеклассников. Строгость тут излишня. Сама книга - превосходна, спасибо за наводку.

[vicvolf]

Cash в сообщении #832900 писал(а):

Это утверждение первым (по Кнуту) высказал Дирихле, также есть его альтернативная формулировка, известная как задача Чебышёва о несократимой дроби. Имеется, конечно, и строгое доказательство, но для этого неплохо бы и саму задачу более строго сформулировать.

Нашел - это теорема Чезаро. Точная формулировка дается не через вероятность, а через верхнюю асимптотическую плотность, которая конечно не является вероятностью (это меня и смутило сначала).
Вот здесь немного об этом http://alexhvorost.narod2.ru/numbers/3.html Если здесь N будет конечно и последовательность натуральных значений будет строго возрастать по каждой координате, то это действительно будет вероятностью.
Интересно, что теорему Чезара можно обобщить на случай k-взаимнопростых чисел следующим образом. Верхняя асимптотическая плотность последовательности k-взаимнопростых чисел на множестве $N^k$ существует и равна $1/\zeta(k)$, где $\zeta$ - функция Римана.

[Cash]

vicvolf в сообщении #833038 писал(а):

Нашел - это теорема Чезаро

Вряд ли справедливо называть так сей факт. В "Искусстве программирования" Кнут приписывает этот результат Дирихле и датирует 1847 годом, когда Чезаро ещё и в проекте не было. Чебышёв, наверняка, тоже раньше свою задачу сформулировал.

[vicvolf]

Cash в сообщении #833117 писал(а):

vicvolf в сообщении #833038 писал(а):

Нашел - это теорема Чезаро

Вряд ли справедливо называть так сей факт. В "Искусстве программирования" Кнут приписывает этот результат Дирихле и датирует 1847 годом, когда Чезаро ещё и в проекте не было. Чебышёв, наверняка, тоже раньше свою задачу сформулировал.

Не в этом суть. Важно, что N можно взять сколь угодно большим, но конечным и плотность последовательности взаимнопростых чисел на интервале натурального ряда от 1 до N будет являться вероятностью и формулу для вероятности независимых событий можно использовать с ошибкой, стремящейся к 0 с ростом N. Поэтому существует верхняя асимптотическая плотность последовательности k-взаимнопростых чисел на множестве $N^k$ и она равна $1/\zeta(k)$, где $\zeta$ - функция Римана.

[Cash]

Я с трудом понимаю, что такое плотность последовательности и которая к тому же вероятность, но мне кажется, что в данной теме это оффтоп.

[vicvolf]

Cash в сообщении #833258 писал(а):

Я с трудом понимаю, что такое плотность последовательности и которая к тому же вероятность, но мне кажется, что в данной теме это оффтоп.

Согласен! Поговорим об этом в другой теме.

[sergei1961]

Есть естественное обобщение $\pi$ в теории так называемого $p$--лапласиана. Можно взять в этом направлении любой интеграл, который выражается через $\pi$ и обобщать его.

[Gobino]

Можно по подробней о теории pi - лапласиана, или ссылочку?

[sergei1961]

$p$-лапласиан. Это нелинейное обобщение оператора Лапласа. Его собственные функции получаются примерно так.
Вот интеграл:

$$ 2\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx=\pi. $$

Теперь число \pi можно обобщить так:

$$ \pi_p=2\int_{-1}^1{(1-x^2)^{\frac{1}{p}}}dx. $$

Аналогично можно обобщить сами синусы на обобщённые синусы. Скажем вот функция арксинуса

$$ \arcsin(x)=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} $$

Обратная к ней-синус. Подставляем вместо квадратного корня любой. Получим обобщённый арксинус. Обратный к нему-обобщённый синус. Функции можно рассматривать как по верхнему пределу, так и по параметру в корне.

Сейчас изучение подобных обобщений (их достаточно много разных, с несколькими параметрами, происходящие не из тригонометрических, а из эллиптических синусов-и тд) -очень модная тема, такие функции много где применяются. Если это профессионально интересно-пишите в личку, я скину ссылки или сами статьи на нормальную почту.

[Gobino]

Спасибо за предложение, отправил e-mail в лc.